정해진 \(m,n\)에 대해 \(m \times n\)행렬을 모두 모은 집합 \(M(m,n)\)은 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있으며 \(M(m,n)\)은 벡터공간이다.
보조설명3.1.1."...에 대해 닫혀 있다."의 뜻.
"닫혀 있다"라는 표현에 대해 설명하고자 한다. 집합을 수식하는 이 표현은 항상 어떤 연산과 결합하여 쓰인다. 가령, 문장 "정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있다."은 \(x,y\)가 정수일 때, 덧셈 연산의 결과 \(x+y\)가 다시 정수 집합의 원소라는 것을 의미한다. 한편, "양수 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있다."라는 문장은 거짓인데, 그 이유는 양수 \(2\)와 \(3\)의 차 \(2-3\)은 양수 집합의 원소가 아니기 때문이다.
위에서 살펴본 덧셈은 이항연산의 예로 주어진 집합의 원소 두 개로 수행하는 연산이다. 꼭 이항연산에 대해서만 닫힘 개념이 적용될 수 있는 것은 아니다. 가령 평면 벡터에 양수를 곱하는 연산을 생각해보자. "1사분면은 양수 곱에 대해 닫혀 있다."가 의미하는 것은 \(\boldsymbol x\)가 1사분면의 원소이고 \(r\)이 양수일 때, \(r\boldsymbol x\)가 다시 1사분면의 원소라는 것이다.
Subsection3.1.3함수는 벡터
함수는 벡터의 예다. 가령, 함수
\begin{equation*}
5\sin x+7\cos x
\end{equation*}
는 두 함수 \(\sin x\)와 \(\cos x\)의 선형결합으로 그 계수는 \(5\)와 \(7\)이다. 두 함수를 서로 더하는 것과 함수에 상수를 곱하는 것이 가능하므로, 함수를 벡터라 할 수 있다.
함수집합 \(\{f | f \colon \mathbf R \to \mathbf R \text{는 함수}\}\)은 벡터공간이다. 비슷하게 \(\{f | f \colon \mathbf R \to \mathbf R \text{는 연속함수}\}\)도 벡터공간이다.
Subsection3.1.4벡터공간의 정의
집합 \(V\)에 연산 \(+\)과 스칼라곱 \(\cdot\)이 주어졌다고 하자. 즉, \(x,y \in V\) 일 때 \(x+y \in V\)이며, \(z \in V\)이고 \(r \in \mathbf R\)일 때 \(r\cdot x \in V\)이다.
정의3.1.2.
\(V\)에 주어진 덧셈과 스칼라 곱이 다음 조건을 모두 만족할 때, \(V\)를 벡터공간이라고 한다. 단, \(x,y,z \in V\text{,}\)\(r,s \in \mathbf R\)은 임의의 원소를 나타낸다.
\(\displaystyle x+y=y+x\)
\(\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)\)
적당한 원소 \(0\in V\)이 있어서 \(x+0=0+x\)
적당한 원소 \(-x\in V\)이 있어서 \(x+(-x)=(-x)+x=0\)
\(\displaystyle r\cdot(x+y)=r\cdot x+r \cdot y\)
\(\displaystyle (r+s)\cdot x = r \cdot x+ s \cdot x\)
\(\displaystyle (rs)\cdot x = r \cdot (s\cdot x)\)
\(\displaystyle 1 \cdot x = x\)
\(\displaystyle 0 \cdot x = 0\)
Subsection3.1.5부분공간
벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(S \subset V\)가 다시 벡터공간이 될 때, \(S\)를 \(V\)의 부분공간이라 한다.
가령, xy-평면에서 x축은 부분공간이다. 집합으로 쓰면
\begin{equation*}
\{(x,0)| x \in \mathbf R\} \subset \mathbf R^2
\end{equation*}
