정의 2.2.1.
\(A\)는 정사각행렬이다. 행렬 \(B\)가 다음 두 조건을 만족하면, \(B\)를 \(A\)의 역행렬이라 한다.
\begin{align*}
AB \amp =I\\
BA \amp =I
\end{align*}
Section 2.2 소거행렬과 역행렬
Subsection 2.2.1 역행렬
\(2 \times \frac 1 2 = 1\)이므로 \(\frac 1 2\)를 “\(2\)의 역수”라고 한다. 역행렬은 행렬곱에서 역수에 해당하는 개념이다. 먼저, 항등행렬은
\begin{equation*}
IA=AI=A
\end{equation*}
를 만족함을 상기하자. 즉, 항등행렬이 실수 곱셈에서 1의 역할을 한다.
1
곱하나 마나 한 수:항등원
행렬 \(A\)의 역은 기호 \(A^{-1}\)로 나타낸다. 따라서,
\begin{equation*}
AA^{-1}=A^{-1}A=I
\end{equation*}
가 성립한다.
Subsection 2.2.2 대각행렬의 역행렬
대각행렬
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}a\amp 0\amp 0\\0\amp b\amp 0\\0\amp 0\amp c\end{bmatrix}
\end{equation*}
의 경우 역행렬이 존재할 필요충분조건은 \(abc\not=0\)이다. 이때, 역행렬은
\begin{equation}
A^{-1}=\begin{bmatrix}a^{-1}\amp 0\amp 0\\0\amp b^{-1}\amp 0\\0\amp 0\amp c^{-1}\end{bmatrix}\tag{2.2.1}
\end{equation}
이다.
예제 2.2.2. 대각행렬의 역행렬.
(2.2.1)를 증명하여라. 즉, 주어진 행렬이 찾고자 하는 역행렬의 조건을 만족하는지 확인하여라.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 0\end{bmatrix}
\end{equation*}
은 역행렬이 없다. 영 아닌 행렬이라고 해서 반드시 역행렬을 가지지 않는 것에 주의하자.
Subsection 2.2.3 소거행렬의 역행렬
소거행렬
\begin{equation*}
E=\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\c\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
를 생각하자. 단, \(c\)는 임의의 실수이다.
계산해보면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\c\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\-c\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\-c\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\c\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
임을 안다. 즉,
\begin{equation*}
E^{-1}=\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\-c\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
이다.
비슷하게,
\begin{align*}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\c\amp 0\amp 1\end{bmatrix}^{-1}
\amp
=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\-c\amp 0\amp 1\end{bmatrix},\\
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\0\amp c\amp 1\end{bmatrix}^{-1}
\amp
=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\0\amp -c\amp 1\end{bmatrix}
\end{align*}
임을 계산으로 쉽게 확인할 수 있다.
예제 2.2.3. 소거행렬의 역행렬 연습.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp c\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}^{-1}
=
\begin{bmatrix}1\amp -c\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
임을 확인하여라.
Subsection 2.2.4 \(AB\)의 역행렬
크기가 같은 정사각행렬 \(A,B\)가 둘 다 가역이면, 곱 \(AB\)도 가역이다. 왜 그런지 알아보자.
\(AB\)가 가역인지 확인하기 위해
\begin{equation*}
(AB)C=I=C(AB)
\end{equation*}
인 행렬 \(C\)를 찾으면 충분하다.
\begin{equation*}
C=B^{-1}A^{-1}
\end{equation*}
로 놓으면
\begin{equation*}
(AB)C=(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I
\end{equation*}
이므로 필요한 두 조건 중 하나를 확인하였다. 나머지 조건 \(C(AB)=I\)도 비슷하게 확인할 수 있다. 이것으로
\begin{equation}
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\tag{2.2.2}
\end{equation}
을 증명하였다.
보조설명 2.2.4. \(AB\)가 가역일 때.
세 가역행렬의 경우
\begin{equation*}
(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}
\end{equation*}
가 된다. (2.2.2)를 반복 적용하면,
\begin{equation*}
(ABC)^{-1}=((AB)C)^{-1}=C^{-1}(AB)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}
\end{equation*}
이기 때문이다. 네 개 이상의 경우도 비슷하다.
Subsection 2.2.5 삼각행렬의 역행렬
삼각행렬
\begin{equation*}
U = \begin{bmatrix}d_1\amp x \amp y \\ 0 \amp d_2 \amp z \\ 0 \amp 0 \amp d_3\end{bmatrix}
\end{equation*}
를 생각하자. 여기서는 \(d_1d_2d_3\not=0\)일 때 \(U\)가 가역임을 두 가지 방법으로 살펴본다.
첫째는 \(U\)를 곱으로 분해하는 방법이다.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}d_1\amp x \amp y \\ 0 \amp d_2 \amp z \\ 0 \amp 0 \amp d_3\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}d_1\amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp d_2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp d_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp x/d_1 \amp y/d_1 \\ 0 \amp 1 \amp z/d_2 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
에 착안하면 (2.2.2)에 의해
\begin{equation}
\begin{bmatrix}1\amp a\amp b \\ 0 \amp 1 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}\tag{2.2.3}
\end{equation}
의 역행렬을 구하면 충분하다.
(2.2.3)는 다음과 같이 분해할 수 있다.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp a\amp b \\ 0 \amp 1 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp b \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp a\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
종합하면
\begin{align*}
U^{-1}
\amp =
\left(
\begin{bmatrix}d_1\amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp d_2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp d_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp b \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp a\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\right)^{-1}\\
\amp =
\begin{bmatrix}1\amp a\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp b \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}d_1\amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp d_2 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp d_3\end{bmatrix}^{-1}\\
\amp =
\begin{bmatrix}1\amp -a\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp -b \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp -c \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}d_1^{-1}\amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp d_2^{-1} \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp d_3^{-1}\end{bmatrix}
\end{align*}
으로 \(U^{-1}\)를 얻는다.
두 번째 방법은 \(UX=I\)를 \(X\)에 관한 방정식으로 보고 해를 찾는 것이다. 가령
\begin{equation*}
U=\begin{bmatrix}1\amp 3\amp 1\\0\amp -1\amp 2\\ 0\amp 0\amp 2\end{bmatrix}
\end{equation*}
라면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp 1\\0\amp -1\amp 2\\ 0\amp 0\amp 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_{11}\amp x_{12}\amp x_{13}\\x_{21}\amp x_{22}\amp x_{23}\\ x_{31}\amp x_{32}\amp x_{33}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\ 0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
으로 놓고 미지수 \(x_{ij}\)의 값을 정하는 것이다. 미지수가 많아 보여도 왼쪽 아래에 위치한 미지수부터 순차적으로 풀어보자. 양변의 \((3,1)\)성분을 비교하면 \(2x_{31}=0\)이므로 \(x_{31}=0\)을 안다. 비슷하게 양변의 \((3,2)\)성분을 비교해 \(x_{32}=0\)을 얻는다. 다음으로 \((2,1)\)성분을 비교해 \(x_{21}=0\)을 얻는다. 중간 단계로
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp 1\\0\amp -1\amp 2\\ 0\amp 0\amp 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_{11}\amp x_{12}\amp x_{13}\\0\amp x_{22}\amp x_{23}\\ 0\amp 0\amp x_{33}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\ 0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
을 얻었다. 양변의 대각성분을 비교하면 \(x_{11}=1\text{,}\) \(x_{22}=-1\text{,}\) \(x_{33}=1/2\)를 얻는다. 이제
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp 1\\0\amp -1\amp 2\\ 0\amp 0\amp 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp x_{12}\amp x_{13}\\0\amp -1\amp x_{23}\\ 0\amp 0\amp 1/2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\ 0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
를 풀면 된다. \((1,2)\)성분을 비교해 \(x_{12}=3\)을 얻고, \((2,3)\)성분을 비교해 \(x_{23}=1\)을 얻는다. 마지막으로 \((1,3)\) 성분을 비교해 \(x_{13}=-7/2\)를 얻는다. 종합하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp 1\\0\amp -1\amp 2\\ 0\amp 0\amp 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp -7/2\\0\amp -1\amp 1\\ 0\amp 0\amp 1/2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\ 0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
이다. 곱셈 순서를 바꾸어
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp -7/2\\0\amp -1\amp 1\\ 0\amp 0\amp 1/2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp 1\\0\amp -1\amp 2\\ 0\amp 0\amp 2\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\ 0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
를 확인하면,
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp 1\\0\amp -1\amp 2\\ 0\amp 0\amp 2\end{bmatrix}^{-1}
=
\begin{bmatrix}1\amp 3\amp -7/2\\0\amp -1\amp 1\\ 0\amp 0\amp 1/2\end{bmatrix}
\end{equation*}
이 증명된다.
예제 2.2.5. 결과 비교.
삼각행렬의 역행렬을 두 가지 방법으로 구하였다. 결과가 같은지 확인하여라.
Subsection 2.2.6 소거법과 역행렬
가역행렬의 역행렬을 구하는 방법으로 소거법을 이용할 수 있다. 정사각행렬 \(A\)가 가역이라 하고 그 역을 \(A^{-1}\)라 하면
\begin{equation}
AA^{-1}=I\tag{2.2.4}
\end{equation}
가 성립한다. 소거법을 이용해
\begin{equation*}
EA=U
\end{equation*}
를 얻었다면 식 (2.2.4)에 \(E\)를 왼쪽에 곱해
\begin{equation}
UA^{-1}=E\tag{2.2.5}
\end{equation}
\begin{equation*}
A^{-1}=U^{-1}E
\end{equation*}
를 얻는다.
예제 2.2.6. 일반적인 \(2 \times 2\)행렬의 역행렬.
행렬 \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)은 \(ad-bc\not=0\)일 때 가역이며 이 때 역행렬은
\begin{equation*}
A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}
\end{equation*}
이다. \(EA=U\)와 \(U^{-1}\)를 구하고 \(A^{-1}=U^{-1}E\)이 성립함을 확인하여라.
예제 2.2.7. \(3 \times 3\)행렬 역행렬 구하기 연습.
행렬
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
2\amp 0\amp 3\\
4\amp 1\amp 2\\
2\amp -1\amp -1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
의 역행렬을 구하여라.
예제 2.2.8. \(4 \times 4\)행렬 역행렬 구하기 연습.
행렬
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1\amp -2\amp -1\amp 0\\
0\amp 1\amp 0\amp 2\\
-3\amp 6\amp 4\amp 3\\
0\amp -1\amp 0\amp -1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
의 역행렬을 구하여라.
연습문제 2.2.7 연습문제
1.
- 참
- 거짓
소거법의 각 단계는 행렬곱으로 표현된다.
2.
- 참
- 거짓
행렬 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)을 왼쪽에 곱하면 \(1\)행의 두 배가 \(3\)행에서 차감된다.
3.
- 참
- 거짓
영이 아닌 정사각행렬의 역행렬은 항상 존재한다.
4.
- \(0\)
- \(1\)
- \(2\)
- \(3\)
- \(4\)
다음 중 가역행렬의 수는?
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0&1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\ 0&1 & 1\\ 1&1 &1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3 & 2\\ 6 & 4\end{bmatrix}
\end{equation*}
5.
- \(A^{-1}B^{-1}\)이다.
- \(B^{-1}A^{-1}\)이다.
- \(A^{-1}B^{-1}\)와 \(B^{-1}A^{-1}\) 모두이다.
- 그 외
\(n \times n\)행렬 \(A,B\)가 가역일 때, \(AB\)의 역행렬에 대한 설명으로 가장 옳은 것은?
6.
- 참
- 거짓
소거 \(EA=U\)에서 \(E\)의 역행렬은 반드시 삼각행렬이다.
