선형독립과 차원

Section 3.4 선형독립과 차원

Subsection 3.4.1 선형독립

정의 3.4.1.

벡터공간 $V$의 원소 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k\in V$가 조건

선형독립의 조건.

실수 $a_1,\cdots,a_k$에 대하여

\begin{equation*} a_1\boldsymbol v_1+\cdots+a_k\boldsymbol v_k=0 \Rightarrow a_1=\cdots=a_k=0 \end{equation*}

이 성립한다.

을 만족할 때, $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k\in V$를 선형독립 혹은 독립이라 한다. 선형독립이 아닌 경우 선형의존 또는 의존이라 한다.

정의로부터 다음을 관찰하자. 만약 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k\in V$가 선형의존이면,

\begin{equation*} a_1\boldsymbol v_1+\cdots+a_k\boldsymbol v_k=0,\hspace{10pt}\text{(단, $(a_1,\cdots,a_k)\not=0$)} \end{equation*}

이다.

선형독립과 CR분해의 관계를 살펴보자. $4 \times 5$ 행렬$A$의 열벡터를 $\boldsymbol c_1,\cdots,\boldsymbol c_5$라 하고, $A$의 CR분해가 가령

\begin{equation*} A=\begin{bmatrix}\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol c_3 \amp \boldsymbol c_5\end{bmatrix}R \end{equation*}

와 같다고 하자. 이것이 열벡터간 독립 또는 의존 관계에 대해 함의하는 것은 표 3.4.2와 같다.

표 3.4.2. CR분해와 선형독립

벡터	독립?	의존?
$\boldsymbol c_1$	O	X
$\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_2$	X	O
$\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_3$	O	X
$\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_3,\boldsymbol c_4$	X	O
$\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_3,\boldsymbol c_5$	O	X

Subsection 3.4.2 선형독립과 기저

정의 3.2.3에서 기저를 정의하였다.

정리 3.4.3.

기저는 선형독립이다.

증명.

벡터공간 $V$의 원소 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n$이 기저라 하자. 이 기저가 선형독립임을 보이기 위해, 실수 $a_1,\cdots,a_n$이

\begin{equation*} a_1\boldsymbol v_1+\cdots + a_n \boldsymbol v_n=0 \end{equation*}

을 만족한다면 $a_1=\cdots=a_n=0$임을 보이자. 우변의 영벡터는

\begin{equation*} 0\boldsymbol v_1+\cdots + 0 \boldsymbol v_n=0 \end{equation*}

으로도 표현된다. 기저의 성질에 의해 영벡터를 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n$의 선형결합으로 표현하는 방법은 유일하므로 $a_1=\cdots=a_n=0$을 얻는다.

역도 성립한다.

정리 3.4.4.

벡터공간 $V$의 선형독립인 원소 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k$는 부분공간 $S=\operatorname{span}\left(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k\right)$의 기저이다.

증명.

기저의 조건 두 가지 중 스팬에 관한 조건은 저절로 만족하므로 유일성을 보이면 충분하다.

\begin{equation*} a_1\boldsymbol v_1 +\cdots+a_k\boldsymbol v_k = b_1\boldsymbol v_1 +\cdots+b_k\boldsymbol v_k \end{equation*}

이라면 이항하여

\begin{equation*} (a_1-a_1)\boldsymbol v_1 +\cdots+(a_k-b_k)\boldsymbol v_k = 0 \end{equation*}

을 얻는다. 선형독립의 정의로부터 $a_1=b_1, \cdots, a_k=b_k$를 얻는다. 이로서 원하던 유일성이 확인되었다.

Subsection 3.4.3 차원

정의 3.4.5.

벡터공간 $V$의 원소 $\boldsymbol v_1,\cdots, \boldsymbol v_n$이 기저라고 하자. 이 때, 기저가 포함하는 벡터의 개수 $n$을 $V$의 차원이라 한다.

예시 3.4.6.

벡터공간 $\mathbf R^n$의 표준기저를 정의 3.2.5에서 도입하였다. 표준기저가 $n$개의 벡터로 구성되어 있으므로, $\mathbf R^n$의 차원은 $n$이다.

차원을 특정하기 위해서는 어떤 기저를 사용해도 무방하다. 가령, $\mathbf R^2$의 차원을 기저 $(1,2),(3,1)$의 벡터 수를 이용해 구해도 좋다.

차원은 선형독립인 벡터의 개수를 제한한다.

명제 3.4.7.

$n$차원 벡터공간의 $n+1$개의 벡터는 선형의존이다.

증명.

연습문제 3.4.6

정리 3.4.8.

$\mathbf R^n$의 기저에 포함된 벡터의 수는 일정하다. 즉, $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k$와 $\boldsymbol w_1,\cdots,\boldsymbol w_l$이 두 벌의 기저이면, $k=l$이다. 특히, 표준기저가 $n$개의 벡터로 구성되어 있으므로 $n=k=l$이다.

증명.

기저는 선형독립이므로 $k \le l$이다. 같은 논리로 $l \le k$이다. 따라서 $k=l$이다.

명제 3.4.9.

$V$가 $n$차원 벡터공간일 때 $n$개 벡터 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n \in V$가 $V$를 생성하면, $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n$은 선형독립이다.

증명.

연습문제 3.4.7.

Subsection 3.4.4 행렬공간의 차원

절 3.1.2에서 행렬을 원소로 갖는 벡터공간을 소개하였다. 여기서는 그 차원에 대해 알아보자. $\operatorname{M}(2,3)$의 여섯 원소

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1\amp 0\amp0 \\ 0\amp0\amp0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\amp 1\amp0 \\ 0\amp0\amp0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\amp 0\amp1 \\ 0\amp0\amp0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\amp 0\amp0 \\ 1\amp0\amp0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\amp 0\amp0 \\ 0\amp1\amp0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\amp 0\amp0 \\ 0\amp0\amp1 \end{bmatrix} \end{equation*}

가 기저이다. 따라서, $\operatorname{M}(2,3)$은 6차원이다. 일반적으로, $\operatorname{M}(m,n)$의 차원은 $mn$이다.

$n \times n $윗삼각행렬의 집합은 $\frac{n(n+1)}{2}$차원 벡터공간이다.

$n \times n $대칭행렬의 집합은 $\frac{n(n+1)}{2}$차원 벡터공간이다.

정사각행렬 $A$가 $A^{\operatorname T}=-A$를 만족하면 반대칭행렬이라 한다. $n \times n $반대칭행렬의 집합은 $\frac{n(n-1)}{2}$차원 벡터공간이다.

Subsection 3.4.5 함수공간의 차원

$2$차 이하 다항식의 집합도 벡터공간이다. 다항식의 변수를 $t$라 하면

\begin{equation*} 1,t,t^2 \end{equation*}

이 기저이므로 3차원 공간임을 안다. 일반적으로, $n$차 이하 다항식의 집합은 $(n+1)$-차원 벡터공간이다.

연습문제 3.4.6 연습문제: 명제 3.4.7의 증명

1.

$\mathbf R^n$의 $(n+1)$개 벡터는 선형의존임을 보여라.

단서.

$(n+1)$개의 벡터로 $n \times (n+1) $ 행렬을 구성해 그 커널을 살펴보아라.

2.

$V$의 기저 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n$가 주어졌다고 하자. $\boldsymbol w \in V$를

\begin{equation*} \boldsymbol w = a_1(\boldsymbol w)\boldsymbol v_1 + \cdots + a_n(\boldsymbol w) \boldsymbol v_n \end{equation*}

으로 나타내자. 두 벡터 $\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2\in V$에 대하여

\begin{equation*} a_1(b_1 \cdot \boldsymbol w_1 + b_2 \cdot \boldsymbol w_2)=b_1 \cdot a_1( \boldsymbol w_1) + b_2 \cdot a_1(\boldsymbol w_2) \end{equation*}

임을 보여라.

3.

$V$의 기저 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n$가 주어졌다고 하자. $(n+1)$개 벡터 $\boldsymbol w_1,\cdots,\boldsymbol w_{n+1}$에 대하여 $a_i(\boldsymbol w_j)$를 이용해 $n \times (n+1)$행렬을 구성하고 그 랭크가 최대 $n$임을 보여라.

4.

종합하여 명제 3.4.7를 증명하여라.

연습문제 3.4.7 연습문제: 명제 3.4.9의 증명

1.

주어진 $\boldsymbol v_i$로부터 만들어진 행렬 $A=\begin{bmatrix}\boldsymbol v_1 \amp \boldsymbol v_2 \amp \cdots \amp \boldsymbol v_n \end{bmatrix}$을 생각하자. CR분해 $A=CR$에 대하여 $C$의 열공간이 $\mathbf R^n$과 같음을 보여라.

2.

$C$의 열벡터들이 선형독립이라는 사실과 $\mathbf R^n$의 차원이 $n$이라는 사실로부터 $A=C$임을 도출하여라.

단서.

정리 3.4.8, 절 1.3.4

연습문제 3.4.8 연습문제

1.

선형독립인 벡터를 선형결합하면 절대로 영벡터가 될 수 없다.

참
거짓

2.

벡터공간 $S$의 기저는 $S$를 반드시 생성한다.

참
거짓

3.

어떤 벡터공간이 10개의 벡터로 생성되면 그 벡터공간은 10차원이다.

참
거짓

4.

어떤 벡터공간의 다섯 벡터가 선형독립이면, 그 벡터공간의 차원은 5이다.

참
거짓

5.

벡터 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \boldsymbol v_3$ 중 어느 두 개를 골라도 선형독립이면, 세 벡터 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \boldsymbol v_3$는 선형독립이다.

참
거짓

6.

틀린 문장을 고르시오.

$\mathbf R^n$을 생성하는 집합은 반드시 기저를 포함한다.
$\mathbf R^9$의 벡터 $\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_5$가 선형독립이면 이 다섯 벡터에 적당한 벡터를 추가해 $\mathbf R^9$의 기저를 구성할 수 있다.
벡터공간의 기저는 유일하다.

7.

모든 $3 \times 3$행렬의 집합에 대한 설명으로 가장 옳은 것은?

벡터공간이며 차원은 9차원이다.
벡터공간이며 차원은 3차원이다.
벡터공간은 아니지만 차원은 9차원이다.
벡터공간은 아니지만 차원은 3차원이다.
벡터공간이 아니므로 차원 개념이 무의미하다.

8.

기저에 대한 설명으로 가장 옳은 것은?

포함된 벡터의 수는 차원을 뜻한다.
경우에 따라 영벡터를 포함할 수 있다.
항상 영벡터를 포함한다.
여섯 벡터로 구성된 $\mathbf R^5$의 기저를 찾을 수 있다.

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벡터	독립?	의존?
\(\boldsymbol c_1\)	O	X
\(\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_2\)	X	O
\(\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_3\)	O	X
\(\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_3,\boldsymbol c_4\)	X	O
\(\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_3,\boldsymbol c_5\)	O	X