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선형대수:
강의록 v.1.2.06
김도형
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머리말
Colophon
1
소개
1.1
목적
1.2
선수내용
1.2.1
좌표계
1.2.2
벡터
1.2.3
행렬
1.2.4
기하
1.2.5
미적분
1.2.6
복소수
1.2.7
프로그래밍
1.3
역사
1.3.1
버전정보
1.4
내용구성
1
벡터와 행렬의 연산
1.1
선형결합과 내적
1.1.1
선형결합
1.1.2
내적
1.1.3
곱셈과 내적
1.1.4
연습문제
1.2
행렬과 열공간
1.2.1
행렬
1.2.2
행렬의 인지와 표현
1.2.3
열공간
1.2.4
연습문제
1.3
\(A=CR\)
분해와 랭크
1.3.1
CR분해의 예
1.3.2
CR분해의 정의
1.3.3
랭크
1.3.4
CR분해와 열벡터의 선형독립
1.3.5
연습문제
2
연립일차방정식 해법과 행렬분해
2.1
소거법 소개:
\(EA=U\)
2.1.1
목적
2.1.2
변수
\(x\)
의 소거
2.1.3
결합법칙
2.1.4
소거법
2.1.5
소거 후 연립방정식 풀이
2.1.6
연습문제
2.2
소거행렬과 역행렬
2.2.1
역행렬
2.2.2
대각행렬의 역행렬
2.2.3
소거행렬의 역행렬
2.2.4
\(AB\)
의 역행렬
2.2.5
삼각행렬의 역행렬
2.2.6
소거법과 역행렬
2.2.7
연습문제
2.3
LU분해
2.3.1
\(EA=U\)
에서
\(A=LU\)
로
2.3.2
LU분해
2.3.3
대칭행렬의 LU분해
2.3.4
직사각행렬의 LU분해
2.3.5
연습문제
2.4
치환과
\(PA=LU\)
분해
2.4.1
LU분해의 실패와
\(PA=LU\)
2.4.2
치환행렬
2.4.3
편축
2.4.4
치환행렬의 역행렬
2.4.5
축과 랭크
2.4.6
\(PA=LU\)
분해
2.4.7
연습문제
3
기본부분공간
3.1
벡터공간과 부분공간
3.1.1
벡터 개념의 확장
3.1.2
행렬은 벡터
3.1.3
함수는 벡터
3.1.4
벡터공간의 정의
3.1.5
부분공간
3.1.6
부분공간 확인법
3.1.7
커널의 정의
3.1.8
연습문제
3.2
커널과 열공간의 기저
3.2.1
LU분해와 커널
3.2.2
기저
3.2.3
윗삼각행렬의 커널
3.2.4
열공간의 기저
3.2.5
스팬 개념 다지기
3.2.6
연습문제
3.3
\(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)
의 해법
3.3.1
핵심관찰
3.3.2
일반해 찾기 예시
3.3.3
해의 존재성과 열공간
3.3.4
해의 유일성과 커널
3.3.5
\(m < n\)
일 때 해의 개수
3.3.6
연습문제
3.4
선형독립과 차원
3.4.1
선형독립
3.4.2
선형독립과 기저
3.4.3
차원
3.4.4
행렬공간의 차원
3.4.5
함수공간의 차원
3.4.6
연습문제: 명제 3.4.7의 증명
3.4.7
연습문제: 명제 3.4.9의 증명
3.4.8
연습문제
3.5
행렬의 기본부분공간
3.5.1
기본부분공간
3.5.2
기본부분공간의 차원
3.5.3
행간소사다리꼴
3.5.4
연습문제: 명제 3.5.2의 증명
3.5.5
연습문제: 명제 3.5.8의 증명
3.5.6
응용: 키르히호프 법칙과 근접행렬
3.5.6.1
유향그래프
3.5.6.1
전기회로와 물리법칙
3.5.6.2
근접행렬
4
직교성
4.1
기본부분공간의 직교관계
4.1.1
부분공간의 직교
4.1.2
커널과 행공간의 직교성
4.1.3
직교여공간
4.1.4
\(\mathbf R^n\)
과 그 부분공간의 기저
4.1.5
기본부분공간과 직교여공간
4.1.6
연습문제: 정리 4.1.9의 증명
4.1.7
연습문제: 명제 4.1.10의 증명
4.1.8
연습문제: 명제 4.1.11의 증명
4.2
정사영
4.2.1
직선으로의 정사영
4.2.2
부분공간으로의 정사영
4.2.3
\(A^\operatorname{T}A\)
의 가역성
4.2.4
정사영의 행렬표현
4.2.5
정사영 행렬의 성질
4.2.6
명제 4.2.10의 증명
4.2.7
명제 4.2.11의 증명
4.3
최소제곱해와 최단해
4.3.1
최소제곱해
4.3.2
적합선 찾기
4.3.3
최단해
4.3.4
의사역행렬
4.3.5
연습문제: 명제 4.3.3의 증명
4.4
QR분해와 그람–슈미트
4.4.1
최소제곱해 찾기, 정사영 행렬 계산, 정규방정식
4.4.2
정규직교기저
4.4.3
QR-분해와 최소제곱해
4.4.4
고찰
4.4.5
그람–슈미트로 QR분해 구하기
4.4.6
연습문제
5
행렬식
5.1
행렬식의 정의와 계산
5.1.1
\(2 \times 2\)
행렬식
5.1.2
\(3\times3\)
행렬식
5.1.3
치환을 이용한 행렬식 정의
5.1.4
여인자를 이용한 행렬식 정의
5.1.5
행렬식의 성질과 특성
5.1.6
행렬곱과 행렬식
5.1.7
연습문제: 명제 5.1.16의 증명
5.1.8
연습문제: 정리 5.1.20의 증명
5.1.9
연습문제: (5.1.14)의 증명
5.2
행렬식의 응용
5.2.1
크레이머 법칙
5.2.2
행렬식과 역행렬 표현
5.2.3
전치와 행렬식
5.2.4
행렬식의 기하학적 의미
5.2.5
연습문제: 명제 5.2.6의 증명
6
고유벡터와 고윳값
6.1
선형변환
6.1.1
선형변환의 정의와 예시
6.1.2
기저와 선형변환
6.1.3
기저 선택 문제와 대각화
6.1.4
행렬은 선형변환
6.1.5
선형변환은 행렬
6.1.6
선형변환의 행렬표현
6.2
대각화:
\(AX=X\Lambda\)
6.2.1
고유벡터
6.2.2
고유벡터와 대각화의 필요충분조건
6.2.3
고유벡터 부족
6.2.4
고윳값
6.2.5
고윳값과 대각화
6.2.6
명제 6.2.13의 증명
6.3
거듭제곱과 지수함수
6.3.1
대각화와 행렬분해
6.3.2
거듭제곱
6.3.3
피보나치 수열과 점화식
6.3.4
고정점
6.3.5
지수함수
6.3.6
미분방정식
7
스펙트랄 정리
7.1
대칭행렬과 스펙트랄 정리:
\(S=Q\Lambda Q^\operatorname T\)
7.1.1
실고윳값
7.1.2
대칭행렬의 대각화
7.1.3
직교하는 고유벡터
7.1.4
정규직교하는 고유벡터로 기저 만들기
7.1.5
대칭행렬의 분해
7.1.6
연습문제: 복소수를 성분으로 갖는 행렬 및 벡터에 대한 소개 및 명제 7.1.1의 증명
7.2
양의 정부호 행렬
7.2.1
양의 정부호 행렬 - 정의
7.2.2
고윳값 조건
7.2.3
축 조건
7.2.4
분해 조건
7.2.5
행렬식 조건
7.2.6
볼록성
7.2.7
극값
7.3
특잇값분해:
\(A=U\Sigma V^\operatorname T\)
7.3.1
\(A^\operatorname TA\)
의 고윳값
7.3.2
특잇값분해
7.3.3
첫 특잇값
\(\sigma_1\)
7.3.4
특잇값과 고윳값
7.3.5
특잇값분해의 기하학적 의의
7.3.6
준정부호
7.3.7
완전특잇값분해
7.4
이미지 압축과 주성분분석
7.4.1
이미지 압축
7.4.2
주성분분석
맺음말
A
색인
B
기호
참고문헌
Colophon
Section
1.1
목적
이 웹문서는 대학생 대상 선형대수 입문 강의의 자습 자료로 활용하기 위해 작성하였다.
