\((1,3)\)이나 \((2,-1)\)과 같은 순서쌍은 벡터의 예다. 둘의 덧셈을 성분들끼리 더하는 것으로 약속하면
\begin{equation*}
(1,3)+(2,-1)=(1+2,3+(-1))=(3,2)
\end{equation*}
이다.
Section 1.1 선형결합과 내적
선형결합의 개념을 소개하려 한다. 이 개념은 두 가지 기본 연산인 덧셈과 스칼라곱에서 쉽게 도출된다. 한편, 내적과 행렬곱을 소개한다.
Subsection 1.1.1 선형결합
선형대수의 근간에는 두 가지 연산이 있다.
첫째는 벡터의 덧셈이다.
예시 1.1.1. 벡터 더하기.
둘째는 스칼라곱이다.
예시 1.1.2. 스칼라 곱하기.
벡터 \((2,3)\)에 실수 \(5\)를 곱하는 것을 각 성분에 곱하는 것으로 약속하고 기호 \(\cdot\)를 사용해 나타내면
\begin{equation*}
5 \cdot (2,3) = (5 \times 2,5 \times 3)=(10,15)
\end{equation*}
가 된다. 여기서 수 \(5\)는 벡터에 곱해지는데, 이런 경우 \(5\)를 스칼라라고 부른다. 위 식에서 수 \(2, 3, 10, 15\)는 벡터의 성분이다. 수의 곱셈에서와 마찬가지로 \(\cdot\)은 종종 생략한다.
실수로 이루어진 순서쌍 \((a,b)\)는 벡터의 좋은 예로, 그 성분을 세로로 나열해
\begin{equation*}
(a,b)=
\begin{bmatrix}
a
\\
b
\end{bmatrix}
\end{equation*}
쓰기도 한다.
덧셈과 스칼라곱을 이용해 선형결합을 정의하자.
정의 1.1.3. 두 벡터의 선형결합.
벡터 \(\boldsymbol v, \boldsymbol w\)와 스칼라 \(a,b\)가 있을 때
\begin{equation*}
a \boldsymbol v + b \boldsymbol w
\end{equation*}
를 \(\boldsymbol v\)와 \(\boldsymbol w\)의 선형결합이라고 하며, \(a,b\)를 선형결합의 계수라고 한다.
예시 1.1.4. 선형결합.
선형결합
\begin{equation*}
3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + (-2) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
\end{equation*}
를 계산해보자. 먼저 스칼라곱을 수행하고 이어서 벡터를 더해주면
\begin{equation*}
3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + (-2) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix}
\end{equation*}
이다. 결과로 얻은 등식
\begin{equation*}
3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + (-2) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix}
\end{equation*}
은 두 가지로 해석할 수 있다.
- 좌변을 계산하면 우변을 얻는다.
- 우변의 벡터를 좌변처럼 두 벡터의 선형결합으로 표현하였다.
예시 1.1.5. 문자가 포함된 선형결합.
\begin{equation*}
a\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 3\\0\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}a+3b \\ 2a\end{bmatrix}
\end{equation*}
이므로 \(\begin{bmatrix}a+3b \\ 2a\end{bmatrix}\)은 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)과 \(\begin{bmatrix} 3\\0\end{bmatrix}\)의 선형결합이다.
벡터의 차는 성분끼리 빼서 구한다.
예시 1.1.6. 벡터의 차.
가령,
\begin{equation*}
(a,b,c)-(c,d,f)=(a-b,b-d,c-f)
\end{equation*}
이다.
벡터의 차는
\begin{equation*}
(a,b,c)-(c,d,f)= (a,b,c) + \left(-1\right) \cdot \left(c,d,f\right)
\end{equation*}
와 같이 스칼라곱을 이용해 덧셈으로 환원할 수 있다.
실수집합은 \(\mathbf R\)로 표기한다. 음이 아닌 정수 \(n\)에 대해
\begin{equation*}
\mathbf R^n := \left\{\left(a_1,\cdots,a_n\right) \colon a_i\text{는 실수, }i=1,2,\cdots,n \right\}
\end{equation*}
라 하자. \(\mathbf R^n\)의 원소들끼리 더할 수 있고, 실수는 스칼라로 작용한다.
선형결합 개념을 확장하자. 등식
\begin{equation*}
a (1,0) + b(0,1) = (a,b)
\end{equation*}
에서 문자 \(a, b\)가 임의의 실수를 나타낸다고 하자. 대단찮은 식이지만 두 가지 관찰을 해 보자.
- 우변은 평면의 모든 점이 될 수 있다.
- 우변은 \((1,0)\)과 \((0,1)\)의 선형결합이다.
따라서, 평면의 임의의 점은 두 벡터 \((1,0)\)과 \((0,1)\)의 선형결합이다.
“모든 선형결합의 집합”이란 개념에 주목하자. 자주 사용하므로 적당한 표기법을 사용하면 효율적이다. 가령, 두 벡터의 모든 선형결합으로 구성된 집합은
\begin{equation*}
\operatorname{span}\left( \boldsymbol v , \boldsymbol w \right) = \left\{a \boldsymbol v + b \boldsymbol w \colon a,\,b\text{는 실수}\right\}
\end{equation*}
으로 표기한다.
예제 1.1.7. 삼차원 공간 속 두 벡터의 스팬.
\((1,0,0)\)과 \((1,1,1)\)의 스팬은 평면을 나타낸다. 어떤 평면인가?
정답.
\(x\)축을 포함하고 \(yz\)평면을 반으로 나누는 평면. 식으로 나타내면 \(y-z=0\)이다.
두 개의 벡터로 제한할 필요는 없다. 정의 1.1.3를 \(k\)개 벡터 경우로 일반화하자.
정의 1.1.8. 여러 벡터의 선형결합.
\begin{equation*}
a_1 \boldsymbol v_1+\cdots + a_k \boldsymbol v_k
\end{equation*}
를 벡터 \(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k\)의 선형결합이라 한다. 이 때, \(a_1,\cdots,a_k\)는 선형결합의 계수이다.
정의 1.1.9. 스팬.
\(n\)은 음이 아닌 정수이다. 벡터 \(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k \in \mathbf R^n\)의 스팬은
\begin{equation*}
\operatorname{span}\left( \boldsymbol v_1,\cdots , \boldsymbol v_k \right) = \left\{a_1 \boldsymbol v_1 + \cdots+a_k \boldsymbol v_k \colon a_1,\cdots ,a_k\text{는 실수}\right\}
\end{equation*}
으로 정의한다.
여기서 \(k=1,0\)도 가능하다.
예시 1.1.10. 하나의 벡터로 스팬하기.
\(\boldsymbol v\)가 영이 아닌 벡터이면, \(\operatorname{span}\left(\boldsymbol v\right)\)는 \(\boldsymbol v\)를 포함하는 직선이다. 만약 \(\boldsymbol v=0\)이면 원점만을 포함한다.
예시 1.1.11. \(k=0\)인 선형결합.
영개의 벡터를 선형결합하면 영벡터이다.
예시 1.1.12. \(k=0\)인 스팬.
영개의 벡터를 스팬하면 공집합이 아니다! 영벡터 하나로 구성된 집합을 얻는다.
Subsection 1.1.2 내적
내적은 벡터 두 개로부터 스칼라를 얻는 연산이라고 할 수 있다. 가령,
\begin{equation*}
(1,2,3)\bullet(2,-1,1)= 1\cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 3
\end{equation*}
이므로 \((1,2,3)\)과 \((2,-1,1)\)의 내적은 \(3\)이다. 내적을 나타낼 때 사용하는 기호 \(\bullet\)은 생략하지 않는다.
행렬을 곱할 때 각 성분은 내적으로 표현된다.
예시 1.1.13. 행렬 곱 속 내적.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \amp -1
\\
2 \amp 1 \amp 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\ 2 \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\ 11
\end{bmatrix}
\end{equation*}
에서 \(2=(1,0,-1)\bullet(3,2,1)\text{,}\) \(11=(2,1,3)\bullet(3,2,1)\)이다.
선형결합과 내적은 순서를 바꾸어도 결과는 같다. 식으로 쓰면
\begin{equation}
\boldsymbol v \bullet \left( a \boldsymbol w + b \boldsymbol z\right)=a \left( \boldsymbol v \bullet \boldsymbol w \right)+ b \left(\boldsymbol v \bullet \boldsymbol z\right) \tag{1.1.1}
\end{equation}
이다.
1
좌변에서는 선형결합을 먼저 한 뒤 내적을 했고, 우변에서는 내적을 먼저한 뒤 선형결합을 했다.
예제 1.1.14. 내적과 선형결합 개념 다지기.
(1.1.1)은 왜 성립하는가?
내적으로부터 길이를 얻을 수 있다. 벡터 \(\boldsymbol v\)의 길이는 \(|\!| \boldsymbol v |\!|\)으로 나타내자. \(\boldsymbol v = \left(a,b\right)\)이면
\begin{equation*}
|\!|\left(a,b\right)|\!| = \sqrt{a^2+b^2}
\end{equation*}
이다. 삼차원에서는
\begin{equation*}
|\!|\left(a,b,c\right)|\!| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}
\end{equation*}
이고 일반적으로
\begin{equation*}
|\!|\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)|\!| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}
\end{equation*}
이다.
항상
\begin{equation*}
|\!| \boldsymbol v |\!| = \sqrt{\boldsymbol v \bullet \boldsymbol v}
\end{equation*}
이 성립하므로, 내적으로부터 길이를 알 수 있다.
내적으로부터 길이 뿐만아니라 각도도 알 수 있다. 이는
\begin{equation}
|\!| \boldsymbol v |\!| |\!| \boldsymbol w |\!| \cos \theta = \boldsymbol v \bullet \boldsymbol w\tag{1.1.2}
\end{equation}
이 성립하기 때문이다.
보조설명 1.1.15.
“두 벡터의 사잇각”은 “시점을 공유하는 두 반직선의 사잇각”인 셈이지만, 벡터 개념에는 영벡터가 포함되는 것에 유의하자. 영벡터와 또다른 벡터 둘 사이의 각도는 어떻게 정의할까? (1.1.2)을 만족하는 \(\theta\)라고 한다면 답은 모든 실수가 된다.
Subsection 1.1.3 곱셈과 내적
행렬과 벡터의 곱
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}
\end{equation*}
에서 우변의 성분을 내적으로 표현하자면
\begin{align*}
ax+by \amp =(a,b)\bullet(x,y)\\
cx+dy \amp = (c,d)\bullet(x,y)
\end{align*}
이다.
행렬과 행렬의 곱에서도 마찬가지다. 가령
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \amp y \\ z \amp w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + bz \amp ay + bw \\ cz+dw \amp cy+dw \end{bmatrix}
\end{equation*}
에서
\begin{equation*}
cy+dw=(c,d)\bullet(y,w)
\end{equation*}
이다.
연습문제 1.1.4 연습문제
1.
계산하여라.
- \(\displaystyle 3\cdot(1,2)+(-1)\cdot(0,1)\)
- \(\displaystyle (3,4)-(5,6)\)
정답.
\((3,5)\text{,}\) \((-2,-2)\)
2.
다음 벡터의 모든 선형결합은 직선, 평면, 공간 중 무엇인가?
- \((1,2,3)\text{,}\) \((3,2,1)\)
- \((1,0,1)\text{,}\) \((0,1,1)\)
- \((0,0,0)\text{,}\) \((0,0,1)\)
- \((1,0,1)\text{,}\) \((2,0,2)\)
- \((1,0,0)\text{,}\) \((0,1,0)\text{,}\) \((0,1,1)\)
- \((1,0,0)\text{,}\) \((0,1,0)\text{,}\) \((1,1,0)\)
정답.
평면, 평면, 직선, 직선, 공간, 평면
3.
\(\boldsymbol v=\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}\text{,}\) \(\boldsymbol w=\begin{bmatrix}3\\0\\ 1\end{bmatrix}\)일 때, 다음 벡터의 첫 번째 성분을 구하시오.
- \(\displaystyle \boldsymbol v - \boldsymbol w\)
- \(c\boldsymbol v - d \boldsymbol w\) (단, \(c,d\)는 실수)
정답.
\(-1, 2c-3d\)
4.
\(|\!|\boldsymbol v|\!|=4\text{,}\) \(|\!|\boldsymbol w|\!|=5\)일 때, \(|\!|\boldsymbol v - \boldsymbol w|\!|\)의 범위를 구하여라.
정답.
\(1 \le |\!|\boldsymbol v - \boldsymbol w|\!|\le 9 \text{,}\) 단 등호는 \(\boldsymbol v\)와 \(\boldsymbol w\)가 평행할 때 성립함.
5.
- 참
- 거짓
두 벡터를 더하는 것은 선형결합의 일종이다.
6.
- 참
- 거짓
주어진 두 벡터가 있을 때, 이를 선형결합하여 영벡터를 만드는 것은 항상 가능하다.
7.
- 참
- 거짓
3차원 벡터 세 개를 적당히 고르면, 이들을 선형결합하여 모든 3차원 벡터를 표현할 수 있다.
8.
- 참
- 거짓
두 벡터의 차를 구하는 것은 선형결합이다.
9.
- 벡터
- 수
주어진 두 벡터를 내적하면 그 결과는?
10.
- 벡터
- 수
행렬과 벡터를 곱하면 그 결과는?
11.
- \(\boldsymbol r\)과 \(\boldsymbol s\)의 내적
- \(\boldsymbol r\)과 \(\boldsymbol s\)의 선형결합
\(2 \times 3\)행렬 \(A\)와 3차원 벡터 \(\boldsymbol v\)를 곱한다. \(A\)의 행벡터를 \(\boldsymbol r\text{,}\) \(\boldsymbol s\)라 하자. 결과 \(A \boldsymbol v\)의 첫 성분은?
12.
- 참
- 거짓
\(2 \times 3\)행렬 \(A\)와 3차원 벡터 \(\boldsymbol v\)를 곱한다. 결과로 얻은 벡터 \(\boldsymbol w = A \boldsymbol v\)는 \(\boldsymbol r\)과 \(\boldsymbol s\)의 선형결합이다.
13.
- 참
- 거짓
벡터 두 개를 더할 때 그 순서는 상관없다.
14.
- 참
- 거짓
영이 아닌 벡터 \(\boldsymbol u\)가 있을 때, \(c \boldsymbol u\)를 다 모으면(단, \(c\)는 임의의 실수) 직선을 얻는다.
15.
- 참
- 거짓
영이 아닌 벡터 \(\boldsymbol u, \boldsymbol v\)가 있어서 그 선형결합 \(c \boldsymbol u+d \boldsymbol v\)를 다 모아 평면을 얻었다면, 이 평면은 원점을 받드시 포함한다.
16.
- 항상 3차원 공간 전체가 된다.
- 꼭 그런 것은 아니다.
3차원 벡터 \(\boldsymbol u, \boldsymbol v\)가 있어 그 선형결합 \(c \boldsymbol u + d \boldsymbol v\)를 다 모아 평면을 얻었다. 평면 박 벡터 \(\boldsymbol w\)가 있을 때, 세 벡터 \(\boldsymbol u, \boldsymbol v, \boldsymbol w\)의 선형결합을 다 모으면..
17.
- 직선이다.
- 평면이다.
- (3차원) 공간이다.
- 그 외
3차원 공간의 벡터 세 개를 택해 가능한 선형결합을 다 모으면..
18.
- 참
- 거짓
벡터 \(\boldsymbol v\)가 \(\boldsymbol v \bullet \boldsymbol v=1\)을 만족하면 \(\boldsymbol v\)는 단위벡터이다.
