를 얻는다. 이때, 명제 3.5.2으로부터 얻은 \(\operatorname{dim}\operatorname{C}(A^{\operatorname{T}})=r\)을 이용하면 \(\operatorname{dim}\operatorname{ker}(A^\operatorname T)=m-r\)을 얻는다.
\(B=\begin{bmatrix}I \amp F\end{bmatrix}\)형태일 때, 명제 2.4.7를 이용해 \(A\)의 CR분해를 구하여라.
4.
종합하여 \(B=\begin{bmatrix}I \amp F\end{bmatrix}\)형태일 때 명제 3.5.8이 성립합을 확인하여라.
5.
일반적인 경우 \(B\)의 부분행렬로 주어지는 \(r \times r\)항등행렬을 찾아라. 단, \(r\)은 \(A\)의 랭크이다.
6.
특수한 경우 (\(B=\begin{bmatrix}I \amp F\end{bmatrix}\)형태) 사용한 방법을 확장하여 일반적인 경우에 대해 명제 3.5.8를 증명하여라.
Subsection3.5.6응용: 키르히호프 법칙과 근접행렬
이 절에서는 전기회로의 개념을 이용해 배운 내용을 응용한다.
Subsubsection3.5.6.1유향그래프
전기회로의 연결 형태는 유향그래프로 표현할 수 있다. 유향그래프는 주어진 점의 모임이 있을 때, 점 사이의 경로들의 구조를 표현하는 수학적 대상으로 그 정의는 다음과 같다.
정의3.5.9.
집합 \(V\)와 \(E\text{,}\) 함수
\begin{equation*}
s,t \colon E \to V
\end{equation*}
가 있을 때, \((V,E,s,t)\)를 유향그래프라 한다. \(V\)를 점집합, \(E\)를 선집합, \(s(e)\)를 \(e\)의 시점, \(t(e)\)를 \(e\)의 종점이라 한다.
예시3.5.10.유향그래프의 예.
점집합 \(V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)과 선집합 \(E=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\)에 시점과 종점이 표 3.5.11로 주어졌다고 하자.
표3.5.11.시점과 종점
\(e\)
\(s(e)\)
\(t(e)\)
\(e_1\)
\(v_1\)
\(v_2\)
\(e_2\)
\(v_2\)
\(v_3\)
\(e_3\)
\(v_3\)
\(v_4\)
\(e_4\)
\(v_4\)
\(v_2\)
유향그래프 \((V,E,s,t)\)를 그림으로 표현하면 이다.
보기3.5.12.그림으로 표현한 유향그래프
Subsection3.5.6.1전기회로와 물리법칙
유향그래프에 추가로 선집합에 저항 또는 전지가 위치한 것을 전기회로라 하자. 주어진 전기회로의 각 점의 전위와 각 선에 흐르는 전류를 어떻게 구할 수 있을까? 주요 물리량에 이름을 붙이자. 점 \(v\)의 전위를 \(p(v)\text{,}\) 선 \(e\)에 흐르는 전류를 \(i(e)\)라 하자. 선 \(e\)의 양 끝단의 전위차 \(\delta(e)\)는
(3.5.11)에서 \(8 \times 8\)행렬은 랭크 8인 가역행렬이다. 따라서 방정식은 유일한 해를 갖는다. 즉, 나열한 물리법칙에 의하여 회로에 흐르는 전류가 유일하게 결정된다.
Subsubsection3.5.6.2근접행렬
유향그래프를 행렬로 표현한 것을 근접행렬이라 한다. 유향그래프 \((V,E,s,t)\)로부터 얻어진 근접행렬에서는 각 선마다 열이 하나씩, 각 점마다 열이 하나씩 대응된다. 구성하는 규칙은 각 선의 종점에 \(1\text{,}\) 시점에 \(-1\)을 쓰고, 나머지 성분에는 모두 \(0\)을 쓰는 것이다. 가령, 예시 3.5.10이 나타내는 그래프를 \(\Gamma\)로 나타낼 때, 대응하는 근접행렬 행렬 \(A_\Gamma\)는
근접행렬을 이용해서 전기회로에 관한 물리법칙을 표현할 수 있다. 이 때는 미지수를 전류 \(i\)와 전위 \(p\)를 사용하면 편리하다. 성분이 \(i(e)\)인 행렬을 \(\boldsymbol i\text{,}\) 성분이 \(p(v)\)인 행렬을 \(\boldsymbol p\)라 하자. 제1법칙은
\begin{equation*}
A_\Gamma^{\operatorname{T}}\boldsymbol i =0
\end{equation*}
으로 표현된다. 옴의 법칙도 비슷하게 표현할 수 있다. \(E_{\operatorname{r}}\subset E\)이 저항이 위치한 선의 집합이라 할때, \(e \in E_{\operatorname{r}}\)에 크기 \(r(e)\)인 저항이 위치한다면, 선 \(e\)에 성립하는 옴의 법칙은
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\Omega_e \amp A_{\Gamma,e}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol i
\\
\boldsymbol p
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
으로 표현할 수 있다. 단, \(\Omega_e\)는 크기 \(E\)인 행벡터로 \(e\)위치 성분이 \(r(e)\)이고 나머지는 \(0\)이며, \(A_{\Gamma,e}\)는 \(A_{\Gamma}\)의 \(e\)위치 행벡터로 구성된 부분행렬이다. 모든 저항에 대한 옴의 법칙은
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\Omega \amp A_\Gamma'
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol i
\\
\boldsymbol p
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
으로 표현된다. 단, 행렬 \(\begin{bmatrix}
\Omega \amp A_\Gamma'
\end{bmatrix}\)의 각 행은 \(\begin{bmatrix}
\Omega_e \amp A_{\Gamma,e}
\end{bmatrix}\)꼴이다. 이어서 전지의 정의를 행렬로 표현해보자. \(E_{\operatorname{b}}\subset E\)가 전지가 위치한 선의 집합이라 하자. 선 \(e \in E_{\operatorname{b}}\)에 전압 \(b\)인 전지가 위치한다면 이 때
\begin{equation*}
A_{\Gamma,e}\boldsymbol p = b
\end{equation*}
가 성립한다. 모든 전지를 고려하면 앞의 논의와 비슷하게
\begin{equation*}
A_{\Gamma}''\boldsymbol p = \boldsymbol b
\end{equation*}
를 얻는다. 키르히호프 제1법칙, 옴의 법칙, 전지의 정의를 한 번에 표현하면
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
A_\Gamma^{\operatorname{T}} \amp 0
\\
\Omega \amp A_\Gamma'
\\
0 \amp A_\Gamma''
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol i
\\
\boldsymbol p
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol 0
\\
\boldsymbol b
\end{bmatrix}\tag{3.5.12}
\end{equation}
이다.
보조설명3.5.17.두 방법의 비교.
전기회로 방정식 (3.5.11)과 (3.5.12)중 하나만 풀면 전류를 구할 수 있다. 첫 번째 방법은 닫힌 경로 개념을 이용하고, 두 번째 방법에서는 근접행렬을 이용하므로 각 방법을 “경로 방법”과 “근접행렬 방법”이라고 부르자. 경로 방법에서는 각 선의 전압을 얻게 되는 한편, 근접행렬 방법에서는 전압을 끝점에서의 전위로부터 구해야 하므로, 전자에 비해 불리한 점이 있다. 반면, 경로 방법을 적용하기 위해서는 닫힌 경로 분류가 전제되어야 하는데, 회로가 평면상에 존재하지 않는 경우 체계적인 분류 방법을 도입해야 한다. 실제로, 보기 3.5.18는 평면에 그릴 수 없다. 근접행렬 방법은 유향그래프의 성질에 무관하게 보편적으로 적용할 수 있는 것이 장점이다.
