정의 3.2.1.
\(U\)에서 축이 있는 위치를 종속변수, 나머지 변수를 자유변수라 한다.
Section 3.2 커널과 열공간의 기저
Subsection 3.2.1 LU분해와 커널
LU분해를 이용해 커널을 구해보자. 먼저,
\begin{equation*}
\operatorname{ker}(A)=\operatorname{ker}(U)
\end{equation*}
임을 관찰하자. 즉,
\begin{equation*}
LU\boldsymbol x=0 \Leftrightarrow U\boldsymbol x=0
\end{equation*}
인데, 이는 \(L\)이 가역이라는 사실을 이용해 좌변에 \(L^{-1}\)을 곱해 알 수 있다.
\(\operatorname{ker}(U)\)는 \(U\)가 윗삼각행렬이라는 성질을 이용해 구한다.
\begin{equation}
U_1 =\begin{bmatrix}1\amp0\end{bmatrix}\tag{3.2.1}
\end{equation}
의 커널에 포함된 원소 \((x_1,x_2)\)는
\begin{equation*}
U_1\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=0
\end{equation*}
를 만족하는데, \(x_1\)은 종속변수이고 \(x_2\)는 자유변수이다.
\(U_1\)의 커널은 벡터
\begin{equation*}
(0,x_2)\hspace{10pt}\text{(단, $x_2$는 실수)}
\end{equation*}
의 집합이다. 자유변수 \(x_2\)는 임의의 값을 갖고 종속변수는 값이 0으로 고정된다.
보조설명 3.2.2. 변수, 열, 행.
\begin{equation*}
A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\end{bmatrix}
\end{equation*}
에서 \(x_i\)는 \(A\)의 \(i\)열의 성분에 곱해지므로 \(x_i\)의 첨자 \(i\)는 \(A\)의 열 위치에 대응한다. 비슷하게, \(y_j\)는 \(A\)의 \(j\)행과 \((x_1,\cdots,x_n)\)의 내적이므로 \(y_j\)의 첨자 \(j\)는 \(A\)의 행 위치에 대응한다.
윗삼각행렬
\begin{equation}
U_2=\begin{bmatrix}1\amp2\amp3\\0\amp0\amp2\end{bmatrix}\tag{3.2.2}
\end{equation}
에서 종속변수는 \(1,3\)열, 자유변수는 \(2\)열에 위치한다. 커널의 원소는 방정식
\begin{equation*}
U_2 \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\amp2\amp3\\0\amp0\amp2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=0
\end{equation*}
을 만족한다. 자유변수 \(x_2\)의 값은 임의의 실수로 놓고, 종속변수의 값을 아래에서부터 정하면 차례로 \(x_3=0\text{,}\) \(x_1=-2x_2\)이다. 즉,
\begin{equation*}
\operatorname{ker}(U_2)=
\left\{(-2x_2,x_2,0)| \text{$x_2$는 임의의 실수}\right\}
\end{equation*}
이다.
Subsection 3.2.2 기저
(3.2.1)의 커널
\begin{equation*}
\operatorname{ker}(U_1)=\{(0,x_2)|\text{$x_2$는 임의의 실수}\}
\end{equation*}
는 스팬을 이용해
\begin{equation*}
\operatorname{ker}(U_1)=\operatorname{span}\left((0,1)\right)
\end{equation*}
으로 표현할 수 있다. 즉, \(\boldsymbol v \in \operatorname{ker}(U_1)\)이면
\begin{equation}
\boldsymbol v = a(0,1)\hspace{10pt}\text{(단, $a$는 실수)}\tag{3.2.3}
\end{equation}
이다. 이에 그치지 않고, (3.2.3)에서 \(a\)는 유일한데, 이런 경우 \((0,1)\)을 \(\operatorname{ker}(U_1)\)의 기저라 한다. 기저의 일반적 정의는 다음과 같다.
정의 3.2.3.
\(V\)가 벡터공간일 때, 다음 두 조건을 만족하는 벡터 \(\boldsymbol v_1,\cdots, \boldsymbol v_n \in V\)를 기저라고 한다.
- \(\displaystyle V=\operatorname{span}(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n)\)
- \(\boldsymbol v \in V\)이면 \(\boldsymbol v = a_1\boldsymbol v_1 + \cdots + a_n\boldsymbol v_n\)인 스칼라 \(a_1,\cdots,a_n\)는 유일하다.
기저의 정의에 등장하는 두 조건은 합치면 “\(\boldsymbol v \in V\)이면 \(\boldsymbol v = a_1\boldsymbol v_1 + \cdots + a_n\boldsymbol v_n\)인 실수 \(a_1,\cdots,a_n\)는 유일하게 존재한다”가 된다.
예시 3.2.4. 표준기저.
\((1,0,0)\text{,}\) \((0,1,0)\text{,}\) \((0,0,1)\)은 \(\mathbf R^3\)의 기저이다. 왜냐하면
\begin{equation*}
(x,y,z)=a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3(0,0,1)
\end{equation*}
이 되게 하는 실수 \(a_1,a_2,a_3\)는 유일하게 존재하기 때문이다. 물론, \(a_1=x,a_2=y,a_3=z\)이다.
정의 3.2.5. 표준기저.
단위행렬의 열벡터로 구성된 기저를 표준기저라고 한다.
예제 3.2.6. 기저 구하기 연습.
(3.2.2)의 커널의 기저를 하나 구하여라.
벡터공간의 기저는 유일하지 않다. 가령 \(\mathbf R^2\)의 기저는 표준기저 외에도 \((1,1),(0,2)\)가 있다.
문제 3.2.7. 평면의 기저 찾기.
\(\mathbf R^2\)의 서로 다른 기저를 무한히 많이 찾아라.
Subsection 3.2.3 윗삼각행렬의 커널
직사각 모양 윗삼각 행렬
\begin{equation}
U_1=\begin{bmatrix}
1\amp0\amp1\amp0\amp1\amp0
\\
0\amp0\amp1\amp1\amp0\amp1
\\
0\amp0\amp0\amp0\amp1\amp1
\end{bmatrix}\tag{3.2.4}
\end{equation}
의 커널을 구해보자. 자유변수는 \(x_2,x_4,x_6\)이다.
\begin{equation}
U_1
\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6
\end{bmatrix}
=0\tag{3.2.5}
\end{equation}
으로 놓고 종속변수 \(x_1,x_3,x_5\)를 자유변수에 관해 풀면
\begin{align*}
x_1= \amp x_4\\
x_3= \amp -x_6-x_4\\
x_5= \amp -x_6
\end{align*}
이므로 (3.2.5)를 만족하는 \((x_1,\cdots,x_6)\)은
\begin{equation}
(x_4,x_2,x_6-x_4,x_4,-x_6,x_6)\hspace{10pt}\text{(단, $x_2,x_4,x_6$은 임의의 실수)}\tag{3.2.6}
\end{equation}
이 된다. (3.2.6)을 다시 쓰면
\begin{equation*}
x_2(0,1,0,0,0,0)+x_4(1,0,-1,1,0,0)+x_6(0,0,1,0,-1,1)
\end{equation*}
인데 이는
\begin{align}
\boldsymbol v_2 = \amp (0,1,0,0,0,0) \tag{3.2.7}\\
\boldsymbol v_4 = \amp (1,0,-1,1,0,0)\tag{3.2.8}\\
\boldsymbol v_6 = \amp (0,0,1,0,-1,1)\tag{3.2.9}
\end{align}
세 벡터의 선형결합이다.
또한 \(U\boldsymbol x=0\)일 때
\begin{equation*}
\boldsymbol x = x_2 \boldsymbol v_2 + x_4 \boldsymbol v_4 + x_6 \boldsymbol v_6
\end{equation*}
이 되는 실수 순서쌍 \((x_2,x_4,x_6)\)은 유일하다. 즉, \(\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_4,\boldsymbol v_6\)는 \(\operatorname{ker}(U_1)\)의 기저이다.
한편, \(\boldsymbol v_k\)의 자유변수 중 \(x_k=1\)이고 나머지는 모두 \(0\)이다. (단, \(k=2,4,6\)) 이를 일반화하면 다음 정리가 된다.
정리 3.2.8.
\(U\)가 윗삼각행렬이라 하자. 각 자유변수 \(x_k\)마다 \(x_k=1\)이고 나머지 자유변수가 모두 영인 \(\operatorname{ker}(U)\)의 원소를 \(\boldsymbol v_k\)라 하자. 자유변수를 \(x_{k_1},\cdots,x_{k_t}\)이라 하면, \(\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{k_t}\)는 \(\operatorname{ker}(U)\)의 기저이다.
증명.
Subsection 3.2.4 열공간의 기저
(1.3.2)에서
\begin{equation*}
\operatorname{C}(A) = \operatorname{span}\left((1,0,0),(0,1,1)\right)
\end{equation*}
을 안다. 평면 \(\operatorname{C}(A)\)의 원소는
\begin{equation*}
a_1 (1,0,0) + a_2(0,1,1)\hspace{10pt}\text{단, $a_1$, $a_2$는 실수}
\end{equation*}
꼴로 유일하게 표현되므로, \((1,0,0),(0,1,1)\)는 \(\operatorname{C}(A)\)의 기저를 이룬다.
일반화하여 다음을 얻는다.
명제 3.2.9.
\(m \times n\)행렬 \(A\)의 \(A=CR\)분해에서 \(C\)의 열벡터를 \(\boldsymbol c_1,\cdots,\boldsymbol c_r\)이라 하면, 이는 \(\operatorname{C}(A)\)의 기저이다.
증명.
왜 그럴까? 기저이기 위한 두 조건 중 스팬에 관한 조건은 쉽게 확인할 수 있다. 유일성에 대한 조건은 다음과 같이 확인한다. 만약
\begin{equation*}
a_1\boldsymbol c_1 + \cdots + a_r \boldsymbol c_r
=
b_1\boldsymbol c_1 + \cdots + b_r \boldsymbol c_r
\end{equation*}
라면, \(a_1=b_2, \cdots, a_r=c_r\)을 보이자. 이항해 정리하면
\begin{equation*}
(a_r-b_r)\boldsymbol c_r \in \operatorname{span}(\boldsymbol c_1,\cdots , \boldsymbol c_{r-1})
\end{equation*}
을 얻는다. CR분해의 조건에 의해 \(a_r=b_r\)을 얻는다. 이를 반영하면
\begin{equation*}
a_1\boldsymbol c_1 + \cdots + a_{r-1} \boldsymbol c_{r-1}
=
b_1\boldsymbol c_1 + \cdots + b_{r-1} \boldsymbol c_{r-1}
\end{equation*}
을 얻고 같은 방법으로
\begin{equation*}
(a_{r-1}-b_{r-q})\boldsymbol c_{r-1} \in \operatorname{span}(\boldsymbol c_1,\cdots , \boldsymbol c_{r-2})
\end{equation*}
가 되므로 다시 같은 이유로 \(a_{r-1}=b_{r-1}\)을 얻는다. 귀납적으로 원하던 결론을 얻는다.
연습문제 3.2.5 스팬 개념 다지기
1.
부분집합 \(X \subset \mathbf R^n\)에 대하여
\begin{equation*}
\operatorname{span}\left(\operatorname{span}\left(X\right)\right)=\operatorname{span}\left(X\right)
\end{equation*}
임을 보여라.
2.
부분공간 \(S \subset \mathbf R^n\)에 대하여
\begin{equation*}
\operatorname{span}\left(S\right)=S
\end{equation*}
임을 보여라.
연습문제 3.2.6 연습문제
1.
- 참
- 거짓
LU분해 \(A=LU\)에서, \(A\)와 \(U\)의 커널은 같다.
2.
- 참
- 거짓
CR분해 \(A=CR\)에 대하여 항상 \(\operatorname{ker}(A)=\operatorname{ker}(R)\)이 성립힌다.
3.
- 참
- 거짓
자유변수는 축에 대응된다.
4.
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
자유변수는 몇 개인가?
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
5.
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
자유변수는 몇 개인가?
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
6.
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
자유변수는 몇 개인가?
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
7.
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
자유변수는 몇 개인가?
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
8.
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
자유변수는 몇 개인가?
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0\\ 0 &1 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0&1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
9.
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
벡터 \((1,0,0,0)\text{,}\) \((1,2,3,0)\text{,}\) \((0,0,0,1)\text{,}\) \((1,0,0,1)\text{,}\) \((0,1,-1,0)\) 중, 행렬
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1&0&2&1&0&0&3 \\
0&1&1&3&0&0&7 \\
0&0&0&0&0&1&0 \\
0&0&0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
의 열공간에 포함되는 벡터는 몇 개인가?
