행렬과 열공간

Section 1.2 행렬과 열공간

Subsection 1.2.1 행렬

행렬은 수를 직사각으로 배열한 것을 뜻한다. 가령,

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \\ 0 \amp -1 \\ 3 \amp 4 \end{bmatrix} \end{equation*}

는 행렬인데, 그 크기는 \(3 \times 2\)다. 일반적으로 행 \(m\)개, 열 \(n\)개인 행렬의 크기를 \(m \times n\)이라 한다. 특히, \(m=n\)인 경우 정사각행렬이라 부른다. 성분 특징에 따른 정사각행렬의 종류로는 항등행렬, 대각행렬, 삼각행렬, 대칭행렬 등이 있다. 여기서 “대각”은 언제나 좌상-우하 방향 대각선을 뜻한다.

삼각행렬의 경우 삼각 영역의 위치에 따라 윗삼각행렬과 아랫삼각행렬로 나누기도 한다.

표 1.2.1. 정사각행렬 분류 예시

	\(\begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 2 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 3 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 1 \amp 6 \amp 5 \\ 0 \amp 2 \amp 4 \\ 0 \amp 0 \amp 3 \end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp 4 \\ 2 \amp -1 \amp 3 \\ 4 \amp 3 \amp 0 \end{bmatrix}\)
항등?	O	X	X	X
대각?	O	O	X	X
윗삼각?	O	O	O	X
아랫삼각?	O	O	X	X
대칭?	O	O	X	O

표 1.2.1에서 사용한 용어는 다음 조건로 정의한다.

대각성분이 모두 \(1\)이고 나머지 성분이 모두 \(0\)이면 항등행렬이다.
대각성분 외 모든 성분이 \(0\)이면 대각행렬이다.
대각선 아래 성분이 모두 \(0\)이면 윗삼각행렬, 대각선 위 성분이 모두 \(0\)이면 아랫삼각행렬이다.
대각선을 기준으로 성분들이 대칭이면 대칭행렬이다.

Subsection 1.2.2 행렬의 인지와 표현

행렬에서 수의 배열이 직사각이라는 것은 시각적으로 명확할 수 있으나, 읽고 쓰고 말할 때에는 직사각형의 자료를 어떤 식으로든 일렬로 변환해야 한다. 이때, 변환 방법에 따라 다양한 표현 방법이 가능하다. 가령, 행렬

\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \\ 3 \amp 4 \end{bmatrix}\tag{1.2.1} \end{equation}

를 소리내어 읽으면 “일-이-삼-사”이다. 문맥에 행렬 크기가 드러나면 문제 없으나, 그렇지 않으면

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \end{bmatrix} , \hspace{5pt} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \end{equation*}

등과 혼동된다.

행렬을 인지하고 표현하는 한 가지 방법은 행별로 나누는 것이다. 가령, 행렬 (1.2.1)를 1행-\([1,2]\)-2행-\([3,4]\)로 읽는다. 행렬을 이렇게 인지하면 예시 1.1.13에서 관찰을 다음 식과 같이 간결하게 이해할 수 있다.

\begin{equation*} \begin{bmatrix} \boldsymbol r_1 \\ \boldsymbol r_2 \end{bmatrix} \boldsymbol v = \begin{bmatrix} \boldsymbol r_1^{\operatorname{T}} \bullet \boldsymbol v \\ \boldsymbol r_2^{\operatorname{T}} \bullet \boldsymbol v \end{bmatrix} \end{equation*}

단, 여기서 사용한 기호 \(\operatorname{T}\)은 전치를 나타낸다.

정의 1.2.2. 벡터의 전치.

\(\begin{bmatrix}a_1\amp\cdots\amp a_n\end{bmatrix}\)의 전치는 \(\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\)으로 정의한다. 반대로, \(\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\)의 전치는 \(\begin{bmatrix}a_1\amp\cdots\amp a_n\end{bmatrix}\)로 정의한다. 벡터 \(\boldsymbol v\)의 전치는 \(\boldsymbol v^{\operatorname{T}}\)로 나타낸다.

단 하나의 행으로 이루어진 행렬을 행벡터, 단 하나의 열로 이루이진 행렬을 열벡터라고 한다. 행벡터를 전치하면 열벡터, 반대로 열벡터를 전치하면 행벡터이다. 행벡터를 전치하면 열벡터가 되는데, 세로로 길어 공간을 많이 차지하는 불편함이 있다. 가로로 쓰고 싶을 때는 표기법

\begin{equation*} [a_1,\cdots,a_n]^\operatorname{T}=(a_1,\cdots,a_n) \end{equation*}

를 사용한다.

행렬은 열벡터로 나누어 읽을 수도 있다. 가령,

\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \\ 0 \amp -1 \\ 3 \amp 4 \end{bmatrix}\tag{1.2.2} \end{equation}

은 두 열벡터

\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} ,\hspace{10pt} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}\tag{1.2.3} \end{equation}

의 나열로 볼 수 있다. 한편,

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \\ 0 \amp -1 \\ 3 \amp 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \end{equation*}

이므로 (1.2.2)을 미지의 벡터 \((x_1,x_2)\)에 곱한 결과는 두 열벡터 (1.2.3)의 선형결합임을 관찰할 수 있다.

관찰 1.2.3. 선형결합으로서의 행렬곱.

행렬 \(A \)에 벡터 \(\boldsymbol x\)를 곱하는 것은 \(A\)의 열벡터의 선형결합을 취하는 것과 같다. 이때, 선형결합의 계수는 \(\boldsymbol x\)의 성분과 같다.

Subsection 1.2.3 열공간

관찰 1.2.3과 정의 정의 1.1.9를 결합해보자.

정의 1.2.4.

\(m \times n\)행렬 \(A\)의 열벡터를 \(\boldsymbol c_1, \cdots, \boldsymbol c_n \)이라 하자. \(A\)의 열공간 \(\operatorname{C}(A)\)는

\begin{equation*} \operatorname{C}(A) := \operatorname{span}(\boldsymbol c_1, \cdots, \boldsymbol c_n) \end{equation*}

이다.

정의로부터 \(\operatorname{C}(A) \subset \mathbf R^m\)은 당연하다.

예시 1.2.5. 열공간 개념 확인.

행렬 \(A=\begin{bmatrix}1 \amp 0 \\ 0 \amp 0\end{bmatrix}\)의 열공간은 \(\operatorname{span}\left(\left(1,0\right),\left(0,0\right)\right)\text{,}\) 즉 \(x\)축이다.

예제 1.2.6. 항등행렬의 열공간.

\(n \times n\)항등행렬의 열공간은 무엇인가?

정답.

\(\mathbf R^n\text{.}\)

Solution.

\(n \times n\) 항등행렬을 \(I\)으로 표기하자. \(\operatorname C \left(I\right) = \mathbf R^n\)를 보이자. 포함관계 \(\operatorname C \left(I\right) \subset \mathbf R^n\)는 열공간의 정의로부터 당연하다. 나머지 포함관계 \(\operatorname C \left(I\right) \supset \mathbf R^n\)을 보이면 충분하다. 임의의 벡터 \(\boldsymbol v \in \mathbf R^n\)의 성분을 \(a_1,\cdots,a_n\)이라 하고, \(I\)의 열벡터를 \(\boldsymbol c_1, \cdots, \boldsymbol c_n \)이라 하면,

\begin{equation*} \boldsymbol v = a_1 \boldsymbol c_1 + \cdots + a_n \boldsymbol c_n \end{equation*}

이다. 따라서, \(\boldsymbol v \in \operatorname C \left(I\right) \)이다.

열공간 개념을 적용해보자.

예시 1.2.7. 열공간이 평면인 \(2 \times 2\)행렬.

\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 1\amp 1 \\ 0 \amp 1\end{bmatrix} \end{equation*}

의 경우 \(\operatorname C(A) = \mathbf R^2\)이다.

예시 1.2.8. 열공간이 직선인 \(2 \times 2\)행렬.

\begin{equation} A = \begin{bmatrix} 1\amp 1 \\ 2 \amp 2\end{bmatrix}\tag{1.2.4} \end{equation}

의 경우 \(\operatorname C(A) = \operatorname{span}\left( (1,2)\right)\)이다. 해당 열공간은 원점을 지나고 기울기가 \(2\)인 직선이다.

예시 1.2.9. 열공간이 직선인 \(3 \times 3\)행렬.

\begin{equation} A = \begin{bmatrix} 1\amp 2 \amp 3\\ 2 \amp 4 \amp 6 \\ 1 \amp 2 \amp 3\end{bmatrix}\tag{1.2.5} \end{equation}

의 경우 \(\operatorname C(A) = \operatorname{span}\left( (1,2,1)\right)\)이다. 해당 열공간은 원점과 점 \(\left(1,2,1\right)\)을 지나는 직선이다.

예시 1.2.10. 열공간이 평면인 \(3 \times 3\)행렬.

\begin{equation} A = \begin{bmatrix} 1\amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 1\end{bmatrix}\tag{1.2.6} \end{equation}

의 경우 \(\operatorname C(A) = \operatorname{span}\left( (1,0,0),(0,1,1)\right)\)이다. 해당 열공간은 원점과 두 점 \((1,0,0),(0,1,1)\)을 지나는 평면이다.

연습문제 1.2.4 연습문제

1.

행렬 \(\begin{bmatrix} 0 \amp 0 \\ 1 \amp 2 \end{bmatrix}\)의 열공간은?

점
직선
평면
공간

2.

행렬 \(\begin{bmatrix} 1 \amp 0 \\ 1 \amp 2 \\ 0 \amp 3 \end{bmatrix}\)의 열공간은?

점
직선
평면
공간

3.

행렬 \(\begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 2\\ \end{bmatrix}\)의 열공간은?

점
직선
평면
공간

4.

행렬 \(\begin{bmatrix} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 2 \amp 4\\ 0 \amp 3 \amp 6 \end{bmatrix}\)의 열공간은?

점
직선
평면
공간

5.

행렬 \(\begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{bmatrix}\)의 열공간은?

점
직선
평면
공간

6.

행렬 \(\begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp 1 \\ a \amp 1 \amp 0 \\ 3 \amp 2 \amp 1 \end{bmatrix}\) 의 열공간이 평면이 되게 하는 \(a\)의 값을 모두 구하시오

단서.

2열과 3열로 스팬되는 평면을 생각하자. 언제 1열이 그 평면에 속하는가?

정답.

\(a=1\)

7.

\(3 \times 2\)행렬은 행이 두 개다.

참
거짓

8.

행렬 \(A\)와 벡터 \(\boldsymbol x\)의 곱 \(A \boldsymbol x\)는 \(A\)의 열을 선형결합해 표현할 수 있다.

참
거짓

9.

행렬

\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 &0 \\ 0 & 1 & -1 &0 \\ 0 & 0 & -1 &1 \\ 1 & -1 & -1 &1 \end{bmatrix} \end{equation*}

의 열을 모두 더하면 영벡터를 얻는다. 따라서, 네 개의 열벡터는..

선형독립이다.
선형의존이다.

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