정의 4.1.1. 직교하는 부분공간.
\(V,W\subset\mathbf R^n\)가 부분공간일 때,
\begin{equation*}
\boldsymbol v \in V, \boldsymbol w \in W \Rightarrow \boldsymbol v \perp \boldsymbol w
\end{equation*}
이 성립하면 \(V\perp W\)라 쓴다. 이 때, \(V\)와 \(W\)는 직교한다고 말한다.
Section 4.1 기본부분공간의 직교관계
Subsection 4.1.1 부분공간의 직교
내적과 각의 관계(1.1.2)를 상기하자. \(\boldsymbol v,\boldsymbol w \in \mathbf R^n\)일 때
\begin{equation*}
\boldsymbol v \bullet \boldsymbol w=0
\end{equation*}
이면 \(\boldsymbol v\)와 \(\boldsymbol w\)는 직교한다. 직교관계는 \(\perp\)으로 나타낸다. 즉,
\begin{equation*}
\boldsymbol v \bullet \boldsymbol w=0 \stackrel{정의}{\Leftrightarrow} \boldsymbol v \perp \boldsymbol w
\end{equation*}
이다.
“직교하다” 대신 “수직이다”라고도 한다.
예시 4.1.2. 축과 직교 부분공간.
- \(\mathbf R^3\)에서 \(x\)축과 \(yz\)평면은 직교한다.
- \(\mathbf R^3\)에서 \(x\)축과 \(y\)축은 직교한다.
- \(\mathbf R^3\)에서 \(xy\)평면과 영공간은 직교한다.
- \(\mathbf R^3\)에서 \(xy\)평면과 \(yz\)평면은 직교하지 않는다.
Subsection 4.1.2 커널과 행공간의 직교성
행렬 \(A\)의 커널을 정의하는 조건
\begin{equation*}
A \boldsymbol x =0
\end{equation*}
을 내적을 이용해 표현해보자. \(A\)의 행을 \(\boldsymbol r_1,\cdots,\boldsymbol r_m\)이라고 하면
\begin{equation*}
A \boldsymbol x =\begin{bmatrix}\boldsymbol r_1^\operatorname{T} \bullet \boldsymbol x \\ \vdots \\ \boldsymbol r_m^\operatorname{T} \bullet \boldsymbol x\end{bmatrix}
\end{equation*}
이므로 \(\boldsymbol x \in \operatorname{ker}(A)\)일 필요충분조건은
\begin{equation}
\boldsymbol x \perp \boldsymbol r_k^\operatorname{T},\hspace{10pt}\text{(단, $k=1,2,\cdots,m$)}\tag{4.1.1}
\end{equation}
이다.
명제 4.1.3. 커널과 행공간의 직교.
\(A\)가 행렬일 때, \(\operatorname{ker}(A) \perp \operatorname{C}(A^\operatorname{T})\)이다.
증명.
\(\boldsymbol x \in \operatorname{ker}(A)\text{,}\) \(\boldsymbol y \in \operatorname{C}(A^\operatorname{T})\)일 때, \(\boldsymbol x \perp \boldsymbol y\)를 보이면 충분하다. \(A\)가 \(m \times n\)행렬이고, 그 행벡터를 \(\boldsymbol r_1,\cdots,\boldsymbol r_m\)이라 하면, 행공간의 정의에 따라
\begin{equation*}
\operatorname{C}(A^\operatorname{T})=\operatorname{span}(\boldsymbol r_1^\operatorname{T},\cdots,\boldsymbol r_m^\operatorname{T})
\end{equation*}
이므로 적당한 스칼라 \(a_1,\cdots,a_m\)에 대해
\begin{equation*}
\boldsymbol y = a_1\boldsymbol r_1^\operatorname{T}+\cdots+a_m\boldsymbol r_m^\operatorname{T}
\end{equation*}
\begin{align*}
\boldsymbol x \bullet \boldsymbol y \amp = \boldsymbol x \bullet \left(a_1\boldsymbol r_1^\operatorname{T}+\cdots+a_m\boldsymbol r_m^\operatorname{T}\right)\\
\amp = a_1 \boldsymbol x \bullet \boldsymbol r_1^{\operatorname{T}}+a_m \boldsymbol x \bullet \boldsymbol r_m^{\operatorname{T}}\\
\amp = a_1 \cdot 0 + \cdots + a_m \cdot 0\\
\amp = 0
\end{align*}
으로 원하던 결과를 얻는다.
\(\mathbf R^n\)의 두 부분공간 \(\operatorname{ker}(A)\)와 \(\operatorname{C}(A^\operatorname{T})\)는 직교할 뿐만아니라, 그 차원이 관계식 (3.5.1)을 만족한다. 가령, \(A\)가 \(4 \times 3\)행렬이라면 두 부분공간
\begin{equation*}
\ker(A), \operatorname{C}(A) \subset \mathbf R^3
\end{equation*}
은 영공간-전체공간, 직선-평면, 평면-직선, 전체공간-영공간 짝일 수 있으나, 직선-직선 또는 평면-평면은 불가능하다.
Subsection 4.1.3 직교여공간
부분공간 \(V \subset \mathbf R^n\)과 벡터 \(\boldsymbol w\in \mathbf R^n\)에 대하여
\begin{equation*}
\boldsymbol v \in V \Longrightarrow \boldsymbol v \perp \boldsymbol w
\end{equation*}
이면 간단히
\begin{equation*}
V \perp \boldsymbol w, \hspace{5pt}\text{또는}\hspace{5pt} \boldsymbol w \perp V
\end{equation*}
로 나타내자.
정의 4.1.4. 직교여공간.
\(V \subset \mathbf R^n\)이 부분공간일 때, 그 직교여공간 \(V^\perp\)은 \(V^\perp:=\{\boldsymbol w \in \mathbf R^n | \boldsymbol w \perp V\}\)으로 정의한다.
\(V^\perp\)을 공간이라 부르는 것을 정당화하자.
명제 4.1.5.
\(V^\perp \subset \mathbf R^n\)은 부분공간이다.
증명.
정리 3.1.3을 사용하자. 먼저, \(V^\perp\)이 덧셈에 닫혀있음을 보이자. \(\boldsymbol w_1,\boldsymbol w_2 \in V^\perp\)일 때, \(\boldsymbol w_1+\boldsymbol w_2 \in V^\perp\)인지 확인하면 충분하다. \(\boldsymbol v \in V\)라면 (1.1.1)에 의해
\begin{equation*}
\left(\boldsymbol w_1+\boldsymbol w_2\right) \bullet \boldsymbol v = \boldsymbol w_1 \bullet \boldsymbol v+\boldsymbol w_2\bullet \boldsymbol v
\end{equation*}
인데 \(\boldsymbol w_1 \bullet \boldsymbol v=\boldsymbol w_2 \bullet \boldsymbol v=0\)이므로 우변은 \(0\)이다. 즉, \(\boldsymbol w_1 + \boldsymbol w_2 \in V^\perp\)이다. 덧셈에 닫혀있음을 보였으니 이제 스칼라곱에 대해 닫혀있음을 보이자. 또다시 (1.1.1)을 이용하면 \(\boldsymbol w \in V^\perp\text{,}\) \(\boldsymbol v \in V\)일 때 임의의 스칼라 \(c\)에 대해
\begin{equation*}
(c\boldsymbol w)\bullet \boldsymbol v = c(\boldsymbol w\bullet \boldsymbol v )=c\cdot0=0
\end{equation*}
임을 안다. 스칼라곱에 대해 닫혀있는 것도 보였으므로 증명이 끝났다.
어떤 벡터공간의 두 부분공간 \(S_1\text{,}\) \(S_2 \)가
\begin{equation*}
S_1 \cap S_2 := \{0\}
\end{equation*}
을 만족하면 선형서로소라고 한다.
명제 4.1.6.
\(V\)와 \(V^\perp\)은 선형서로소이다. 즉, \(V \cap V^\perp=\{0\}\)이다.
증명.
\(\boldsymbol v \in V \cap V^{\perp}\)이면 \(\boldsymbol v \bullet \boldsymbol v =0\)이다. 따라서, \(\boldsymbol v =0\)이다.
Subsection 4.1.4 \(\mathbf R^n\)과 그 부분공간의 기저
직교여공간을 분석하기에 앞서, 기저에 관한 몇 가지 유용한 사실들을 소개한다. 벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(A \subset V\)가 있을 때
\begin{equation*}
\operatorname{span}\left(A\right):= \{\boldsymbol v \in V | \text{$\boldsymbol v$는 $A$의 원소의 선형결합}\}
\end{equation*}
이라 정의하자. \(A\)가 유한집합이면 기존의 스팬 개념과 동일하고, 여기서는 이를 약간 확장하여 \(A\)가 무한집합인 경우도 허용한다. 단, 개별 선형결합에서는 \(A\)의 원소 유한개만 등장할 수 있다.
예시 4.1.7. 무한집합의 스팬과 다항식.
\(V\)를 \(x\)에 관한 모든 다항식의 집합이라 하자. 이는 벡터공간이다. \(x\)의 모든 거듭제곱의 집합을 \(A=\{1,x,x^2,\cdots\}\)라 하면 \(V=\operatorname{span}(A)\)이다. 멱급수
\begin{equation*}
1+x+x^2+\cdots
\end{equation*}
는 \(\operatorname{span}(A)\)의 원소가 아니다.
정의 4.1.8. 생성집합.
벡터공간 \(V\)의 생성집합이란
\begin{equation*}
\operatorname{span}(A)=V
\end{equation*}
를 만족하는 부분집합 \(A \subset V\)를 뜻한다.
정리 4.1.9. 생성집합에서 기저 찾기.
모든 부분집합 \(A \subset \mathbf R^n\)은 부분공간 \(\operatorname{span}(A)\)의 기저를 포함한다.
증명.
명제 4.1.10. 선형독립인 벡터로부터 기저 구성하기.
벡터공간 \(V\subset \mathbf R^n\)의 부분집합 \(A=\{\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k\}\)의 \(k\)개 원소가 선형독립이라고 하자. 부분집합 \(B \subset V\)가
\begin{equation*}
V=\operatorname{span}(A \cup B)
\end{equation*}
를 만족하면 \(B\)의 적당한 부분집합 \(I\)에 대하여 \(A \cup I\)는 \(V\)의 기저이다.
증명.
명제 4.1.11.
\(V \subset W \subset \mathbf R^n\)이 부분공간이고 \(\dim V=\dim W\)이면 \(V=W\)이다.
증명.
Subsection 4.1.5 기본부분공간과 직교여공간
부분공간 \(V,W \subset \mathbf R^n\)이 수직이라 가정해보자. 정의에 따라서
\begin{equation*}
V \subset W^\perp
\end{equation*}
이다. 언제 \(V=W^\perp\)일까? 먼저 필요조건을 하나 관찰하자.
정리 4.1.12. 직교여공간의 차원 관계.
\(V \subset \mathbf R^n\)이면 \(\dim V + \dim V^\perp = n\)이다.
증명.
위 필요조건은 충분조건이기도 하다.
정리 4.1.13. 직교여공간 차원 관계식의 역.
\(V, W \subset \mathbf R^n\)이 수직이고 \(\dim V + \dim W=n\)이면 \(V=W^\perp\)이다.
증명.
가정으로부터 \(W \subset V^\perp\)이다. 다른 가정 \(\dim V + \dim W=n\)으로부터 \(\dim W = \dim V^\perp\)임을 안다. 명제 4.1.11을 이용해 결론 \(W=V^\perp\)을 얻는다.
명제 4.1.14.
\((V^\perp)^\perp=V\)이다.
정리 4.1.15. 기본부분공간 사이의 직교여공간 관계.
\(\ker(A)^\perp = \operatorname{C}(A^\operatorname T)\)이다. 또한, \(\ker(A^\operatorname T)^\perp = \operatorname{C}(A)\)이다.
증명.
\(\ker(A)^\perp = \operatorname{C}(A^\operatorname T)\)에서 \(A\) 대신 \(A^\operatorname T\)를 대입하면 두 번째 원하는 것을 얻으므로, 처음 것만 보이자.
명제 4.1.3에서 \(\operatorname{C}(A^\operatorname T) \subset \ker(A)^\perp\)을 안다. \(A\)의 랭크를 \(r\)이라 할 때, 정리 4.1.12에서 \(\dim \ker(A)^\perp=r\)을 안다. 한편, 표 3.5.1에서 \(\dim \operatorname{C}(A^\operatorname T) =r\)을 안다. 명제 4.1.11을 \(\operatorname{C}(A^\operatorname T) \subset \ker(A)^\perp\)에 적용하면 원하던 등식 \(\operatorname{C}(A^\operatorname T) = \ker(A)^\perp\)을 얻는다.
연습문제 4.1.6 연습문제: 정리 4.1.9의 증명
다음 단계를 거쳐 정리 4.1.9를 증명해보자.
1.
\(A \subset \mathbf R^n\)이면 \(A\)에서 선형독립인 벡터를 최대 \(n\)개 고를 수 있음을 보여라.
2.
집합 \(\{k|\text{$A$는 $k$개의 선형독립인 원소를 가진다.}\}\)의 최대원이 \(d\)라고 하자. 선형독립인 \(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_d \in A\)에 대하여
\begin{equation*}
\operatorname{span}(A)=\operatorname{span}(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_d)
\end{equation*}
임을 보여라.
3.
종합하여, 위에서 찾은 \(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_d\)가 \(\operatorname{span}(A)\)의 기저임을 보여라.
연습문제 4.1.7 연습문제: 명제 4.1.10의 증명
다음 단계를 거쳐 명제 4.1.10를 증명해보자.
1.
먼저 \(V=\mathbf R^n\)인 경우를 생각하자. 이 때, 부분집합 \(J \subset B\)에 대하여 \(A \cup J\)가 \(\mathbf R^n\)의 기저이면 \(A\cup J\)는 기껏해야 \(n\)개의 원소를 포함할 수 있음을 보여라.
2.
계속 \(V=\mathbf R^n\)인 경우를 생각하자. \(A \cup J\)가 선형독립이 되는 부분집합 \(J \subset B\)중 \(A\cup J\)의 원소의 수를 최대가 되게 하는 \(J\)가 있음을 보여라. 최댓값이 \(J=I\)일 때 실현된다면, \(A \cup I\)가 \(\mathbf R^n\)의 기저가 됨을 보여라.
3.
일반적인 \(V\)를 생각하자. \(A \cup J\)가 선형독립이 되는 부분집합 \(J \subset B\)중 \(A \cup J\)원소의 수가 최대가 되는 경우를 관찰하여라. 이로부터 명제를 증명하여라.
연습문제 4.1.8 연습문제: 명제 4.1.11의 증명
다음 단계를 거쳐 명제 4.1.11를 증명해보자.
1.
\(k=\dim V\)라 하자. 기저 \(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k \in V\)가 \(W\)의 기저임을 보이면 충분하다.
2.
\(A=\{\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_k\}\)일 때, 적당한 \(I \subset W\)가 존재하여 \(A \cup I\)가 \(W\)의 기저가 됨을 보여라.
3.
\(\dim V=\dim W\)로부터 \(A=I \cup A\)임을 보여라.
