스펙트랄 정리를 이용하자. \(n \times n\)대칭행렬 \(S\)의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 \(\boldsymbol x_1,\cdots,\boldsymbol x_n\)이라 하고 대응되는 교윳값을 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)이라 하자. \(\boldsymbol x\not=0\)이면
\begin{equation*}
\boldsymbol x= a_1\boldsymbol x_1+\cdots+a_n\boldsymbol x_n
\end{equation*}
으로 쓸 수 있으며, \(\boldsymbol x=0\)일 필요충분조건은 \(a_1=\cdots=a_n=0\)이다.
각 \(i=1,\cdots,n\)마다
\begin{equation*}
\boldsymbol x_i^{\operatorname T} S\boldsymbol x_i = \boldsymbol x_i^{\operatorname T} (\lambda\boldsymbol x_i)= \lambda_i
\end{equation*}
이고, \(i\not = j\)이면 직교성에 의하여
\begin{equation*}
\boldsymbol x_i^{\operatorname T} S\boldsymbol x_j = \boldsymbol x_i^{\operatorname T} (\lambda\boldsymbol x_j)=0
\end{equation*}
이다. 이를 이용하여
\begin{equation*}
\left(a_1\boldsymbol x_1+\cdots+a_n\boldsymbol x_n\right)^\operatorname T
S
\left(a_1\boldsymbol x_1+\cdots+a_n\boldsymbol x_n\right)
\end{equation*}
을 전개하면
\begin{align}
\amp \left(a_1\boldsymbol x_1+\cdots+a_n\boldsymbol x_n\right)^\operatorname T S \left(a_1\boldsymbol x_1+\cdots+a_n\boldsymbol x_n\right)\tag{7.2.1}\\
= \,\amp \lambda_1a_1^2+\cdots+\lambda_na_n^2\tag{7.2.2}
\end{align}
을 얻는다.
스펙트랄 정리로부터 얻은
(7.2.2)으로부터 명제를 증명해보자. 만약
\(S\)가 양정부호라면
(7.2.2)의 우변은 임의의 영 아닌 벡터
\((a_1,\cdots,a_n)\)에 대하여 양수이어야 한다. 표준기저벡터를 대입해보면 각
\(\lambda_i\)가 양수임을 안다. 역으로, 모든
\(\lambda_i\)가 양수라면 동치관계
\begin{equation*}
\lambda_1a_1^2+\cdots+\lambda_na_n^2=0 \Leftrightarrow (a_1,\cdots,a_n)=0
\end{equation*}
를 얻고, 이로부터 \(S\)가 양정부호임을 안다.
