만약 \(Y\)가 가역행렬이고 \(Y^{-1}AY=\Lambda\)가 성립한다고 하자. \(Y\)의 열벡터는 \(A\)의 고유벡터인가? 이들은 기저를 이루는가?
정답.
좌변에 \(Y\)를 곱해 열끼리 비교하면 \(Y\)의 열벡터가 \(A\)의 고유벡터인 것을 안다. \(Y\)가 가역이므로 열벡터들은 기저를 이룬다.
Section 6.3 거듭제곱과 지수함수
Subsection 6.3.1 대각화와 행렬분해
\(n \times n\)행렬 \(A\)의 고유벡터 \(\boldsymbol x_1, \cdots, \boldsymbol x_n\)이 기저라 하자. 대응되는 고윳값을 \(\lambda\)로 쓰면 관계식
\begin{equation*}
A \boldsymbol x_i = \lambda _i \boldsymbol x_i\hspace{10pt}(i=1,2,\cdots,n)
\end{equation*}
이 성립한다. \(\boldsymbol x_i\)를 열벡터로 갖는 행렬을 \(X\)라 하고 \(\Lambda\)를 대각성분이 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\)인 대각행렬로 놓으면
\begin{equation}
AX=X\Lambda\tag{6.3.1}
\end{equation}
이 성립한다. 즉, 고유벡터로 구성된 기저로부터 분해 (6.3.1)를 얻었다.
분해 (6.3.1)를 변형해보자. \(\boldsymbol x_1,\cdots,\boldsymbol x_n\)이 기저이므로 \(X\)는 가역이다. 이를 이용해 \(X^{-1}\)를 좌변에 곱하면
\begin{equation}
X^{-1}AX=\Lambda\tag{6.3.2}
\end{equation}
\begin{equation}
A=X\Lambda X^{-1}\tag{6.3.3}
\end{equation}
를 얻을 수도 있다. 이는 \(A\)를 세 행렬의 곱으로 분해한 것이다.
예제 6.3.1. “대각화”의 의미.
Subsection 6.3.2 거듭제곱
\begin{align*}
A^k \amp =\left(X \Lambda X^{-1}\right)^k\\
\amp = \left(X \Lambda X^{-1}\right) \left(X \Lambda X^{-1}\right) \cdots \left(X \Lambda X^{-1}\right)\\
\amp = X \Lambda \left(X^{-1}X\right)\Lambda \left(X^{-1}X\right)\cdots \Lambda \left(X^{-1}X\right)\Lambda X^{-1}\\
\amp = X \Lambda \cdot \cdots \cdot \Lambda X^{-1}\\
\amp = X\Lambda^k X^{-1}
\end{align*}
를 얻는다.
즉,
\begin{equation}
A^k = X\Lambda^kX^{-1}\tag{6.3.4}
\end{equation}
이다.
\(\Lambda\)는 대각행렬이므로
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\lambda _1 \amp 0 \amp \cdots \amp 0
\\
0 \amp \lambda_2 \amp \cdots \amp 0
\\
\vdots\amp \vdots \amp \lambda_{n-1}\amp 0
\\
0 \amp \cdots \amp 0\amp \lambda_n
\end{bmatrix}^k
=
\begin{bmatrix}
\lambda _1^k \amp 0 \amp \cdots \amp 0
\\
0 \amp \lambda_2^k \amp \cdots \amp 0
\\
\vdots\amp \vdots \amp \lambda_{n-1}^k\amp 0
\\
0 \amp \cdots \amp 0\amp \lambda_n^k
\end{bmatrix}
\end{equation*}
로 쉽게 계산된다.
Subsection 6.3.3 피보나치 수열과 점화식
피보나치 수열 \(F_n\)은 초기조건 \(F_0=0,F_1=1\)과 점화식
\begin{equation*}
F_n=F_{n-1}+F_{n-2}
\end{equation*}
으로 주어진다. 단, \(n \ge 2\)이다.
피보나치 수열의 일반항을 구해보자. 핵심 관찰은
\begin{equation*}
\boldsymbol f_{n} = \begin{bmatrix}F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix}
\end{equation*}
으로 놓으면
\begin{equation*}
\boldsymbol f_{n+1} = \begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}\boldsymbol f_n
\end{equation*}
인 것이다.
\begin{equation*}
\boldsymbol f_{n} = \begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}^n\boldsymbol f_0
\end{equation*}
이므로 \(F_n\)을 구하는 문제는 거듭제곱
\begin{equation}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}^n\tag{6.3.5}
\end{equation}
을 구하는 문제로 환원된다.
(6.3.5)를 구하기 위해 분해
\begin{equation}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}= X^{-1}\Lambda X\tag{6.3.6}
\end{equation}
를 구해야 한다. 이와 동치인
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}X= \Lambda X
\end{equation*}
를 풀어야 하는데, 열로 나누어 보면 \(i=1,2\)일 때
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_i\\y_i \end{bmatrix} = \lambda_i \begin{bmatrix}x_i\\y_i \end{bmatrix}
\end{equation*}
이다. 이항하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1-\lambda_i \amp 1 \\ 1 \amp -\lambda_i\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_i\\y_i \end{bmatrix} =0
\end{equation*}
이고 고유벡터는 영벡터가 아니므로
\begin{equation*}
\det \begin{bmatrix}1-\lambda_i \amp 1 \\ 1 \amp -\lambda_i\end{bmatrix}=0
\end{equation*}
을 얻는다. 계산하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1-\lambda_i \amp 1 \\ 1 \amp -\lambda_i\end{bmatrix}= \lambda_i^2-\lambda_i-1
\end{equation*}
이므로 근의 공식에 따라
\begin{equation*}
\lambda_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}, \lambda_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}
\end{equation*}
를 얻는다. 고윳값 \(\lambda_1\)에 대응되는 고유벡터를 찾아보자.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt 5}{2}\amp 1 \\ 1 \amp \frac{-1-\sqrt 5}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\y_1 \end{bmatrix}=0
\end{equation*}
을 풀어야 한다. 풀어보면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}x_1\\y_1 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}-1\\\frac{1-\sqrt 5}{2} \end{bmatrix}
\end{equation*}
를 얻는다. 비슷하게 두 번째 고윳값에 대응되는 고유벡터를 찾아보자.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt 5}{2}\amp 1 \\ 1 \amp \frac{-1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_2\\y_2 \end{bmatrix}=0
\end{equation*}
를 만족해야 한다. 풀어보면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}x_2\\y_2 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}-1\\\frac{1+\sqrt 5}{2} \end{bmatrix}
\end{equation*}
를 얻는다.
종합하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt 5}{2} \amp 0 \\ 0 \amp \frac{1-\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\end{equation*}
이다. 이항하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt 5}{2} \amp 0 \\ 0 \amp \frac{1-\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}^{-1}
\end{equation*}
이고 역행렬을 계산하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}^{-1}
=
\frac{-1}{\sqrt 5}\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt 5}{2} \amp 1 \\ \frac{-1+\sqrt 5}{2} \amp -1\end{bmatrix}
\end{equation*}
이다. 정리하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}
=
\frac{-1}{\sqrt 5}
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt 5}{2} \amp 0 \\ 0 \amp \frac{1-\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt 5}{2} \amp 1 \\ \frac{-1+\sqrt 5}{2} \amp -1\end{bmatrix}
\end{equation*}
이고 거듭제곱을 취해
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}^n
=
\frac{-1}{\sqrt 5}
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n \amp 0 \\ 0 \amp \left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt 5}{2} \amp 1 \\ \frac{-1+\sqrt 5}{2} \amp -1\end{bmatrix}
\end{equation*}
를 얻는다.
피보나치 수열의 일반항을 얻기 위해
\begin{equation*}
\boldsymbol f_0 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}
\end{equation*}
에 곱하면
\begin{equation*}
\boldsymbol f_n
=
\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp 0\end{bmatrix}^n\boldsymbol f_0
=
\frac{-1}{\sqrt 5}
\begin{bmatrix}-1 \amp -1 \\ \frac{1-\sqrt 5}{2} \amp \frac{1+\sqrt 5}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n \amp 0 \\ 0 \amp \left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt 5}{2} \amp 1 \\ \frac{-1+\sqrt 5}{2} \amp -1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}
\end{equation*}
인데, 정리하여 성분 \(F_n\)을 구하면
\begin{equation}
F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n\right)\tag{6.3.7}
\end{equation}
이다.
(6.3.7)에 관여하는 두 지수함수의 밑을 보면
\begin{equation*}
-1<\frac{1-\sqrt 5}{2}<0 < 1 < \frac{1+\sqrt 5}{2}
\end{equation*}
이다. 이 관찰에 근거해 \(F_n\)의 근사식을 구해보면 \(\frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n\)이고 그 오차는
\begin{equation*}
F_n - \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n
\end{equation*}
으로 \(n\)이 증가함에 따라 오차는 영으로 수렴한다.
Subsection 6.3.4 고정점
\(2 \times 2\)행렬
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
0.1\amp 0.7
\\
0.9 \amp 0.3
\end{bmatrix}\tag{6.3.8}
\end{equation}
를 생각해보자.
\begin{equation*}
M=
\begin{bmatrix}
0.1\amp 0.7
\\
0.9 \amp 0.3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7 \\ 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 \\ 9\end{bmatrix}
\end{equation*}
이므로 \(\lambda=1\)은 고윳값이고, 대응되는 고유벡터는 \(\boldsymbol x = \begin{bmatrix}7 \\ 9\end{bmatrix} \)이다. 이러한 고유벡터는 고정점의 예다.
정의 6.3.2. 고정점.
정사각행렬 \(A\)에 대하여 \(A\boldsymbol x= \boldsymbol x\)이면, \(\boldsymbol x\)를 \(A\)의 고정점이라 한다.
\(M\)의 또다른 고윳값은 \(\mu=-0.6\)이고 대응되는 고유벡터는 \(\boldsymbol y=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)이다.
주어진 벡터 \(\boldsymbol v \in \mathbf R^2\)에 대하여 \(k\)가 증가할 때
\begin{equation*}
M^k\boldsymbol v
\end{equation*}
의 자취를 구해보자. 고유벡터로 분해하면
\begin{equation*}
\boldsymbol v = a \boldsymbol x + b \boldsymbol y
\end{equation*}
인데,
\begin{equation*}
M^k \boldsymbol v = a M^k \boldsymbol x + b M^k\boldsymbol y
\end{equation*}
이다. \(M\boldsymbol x=\boldsymbol x\text{,}\) \(M\boldsymbol y = -0.6 \boldsymbol y\) 이므로
\begin{equation*}
M^k \boldsymbol v \to a \boldsymbol x
\end{equation*}
으로 수렴함을 알 수 있다. 또한 수렴하는 벡터는
\begin{equation*}
M (a\boldsymbol x ) = a \boldsymbol x
\end{equation*}
로 고정점임을 안다.
보조설명 6.3.3. 마르코프 행렬.
(6.3.8)은 모든 성분이 음이 아닌 실수이며, 동시에 각 열은 성분의 합이 1과 같다. 이러한 두 조건을 만족하는 정사각행렬을 마르코프 행렬 또는 스토캐스틱 행렬이라고 한다.
예제 6.3.4. 마르코프 행렬의 고정점.
마르코프 행렬 \(A\)는 항상 고정점을 갖는다. 그 이유는 무엇인가?
단서.
\(A^\operatorname{T}\)의 고정점이 \((1,1,\cdots,1)\)인 것을 관찰하라. \(A^\operatorname{T}\)와 \(A\)의 특성다항식을 비교하여라. 이로부터 \(A\)도 고정점을 가질 수 밖에 없음을 유도하라.
마르코프 행렬의 고정점은 다양한 맥락에서 등장한다. 그 중 하나로, 하디—바인베르크 법칙을 소개한다. 가령, 현재 우리나라 인구 중 곱슬머리인 사람의 비율이 \(v_0\text{,}\) 직모인 사람의 비율이 \(w_0\)이라고 하자. 이를 벡터 \(\boldsymbol h_0=(v_0,w_0)\)로 표현하자. 만약 한 세대 후 곱슬머리와 직모인 사람의 비율을 각각 \(v_1\)과 \(w_1\)이라고 할 때 만약 초기 상태를 나타내는 벡터 \(\boldsymbol h_0\)와 한 세대 후 상태를 나타내는 벡터 \(\boldsymbol h_1\)이 적당한 마르코프 행렬 \(M\)에 대하여
\begin{equation*}
M \boldsymbol h_0 = \boldsymbol h_1
\end{equation*}
를 만족한다고 가정하자. 귀납적으로 \(M\boldsymbol h_k=\boldsymbol h_{k+1}\)도 가정하자. \(M\)의 고정점을 \(\boldsymbol x\)라 하면 오랜 시간이 지난 후 \(\boldsymbol h_k \approx c \boldsymbol x\)일 것이고, (단, \(c\)는 실수) 세대가 바뀌더라도 곱슬/직모 비율은 일정하게 유지된다.
Subsection 6.3.5 지수함수
지수함수는
\begin{equation}
e^x= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\tag{6.3.9}
\end{equation}
을 만족한다. 단, \(x\)는 임의의 실수이다. 행렬을 지수로 갖는 지수함수는
\begin{equation}
e^A :=I + A + \frac{A^2}{2!}+ \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\tag{6.3.10}
\end{equation}
로 정의한다.
보조설명 6.3.5. 수렴성.
정의가 정당하려면 (6.3.10)의 우변이 수렴하여야 한다. 우변이 수렴하는 것은 알려진 사실이나 본 강의록에서는 증명하지 않고 사실로 받아들인다. 더 알고 싶은 경우 조르단 표준형 을 참고하여라.
\begin{align*}
e^A \amp = X\left(I + \Lambda + \frac{\Lambda^2}{2!}+ \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{\Lambda^k}{k!}\right)X^{-1}\\
\amp = Xe^\Lambda X^{-1}
\end{align*}
가 된다. 단,
\begin{equation}
e^\Lambda
=
\begin{bmatrix}
e^{\lambda _1} \amp 0 \amp \cdots \amp 0
\\
0 \amp e^{\lambda_2} \amp \cdots \amp 0
\\
\vdots\amp \vdots \amp e^{\lambda_{n-1}}\amp 0
\\
0 \amp \cdots \amp 0\amp e^{\lambda_n}
\end{bmatrix} \tag{6.3.11}
\end{equation}
Subsection 6.3.6 미분방정식
함수방정식이란 미지의 함수 \(f(t)\)에 주어진 조건을 말하며, 조건이 미분을 포함하는 경우 미분방정식이라 한다. 미분방정식의 대표적인 예로
\begin{equation}
f'(t)=f(t)\tag{6.3.12}
\end{equation}
가 있다. 위 방정식을 만족하는 함수는 \(f(t)=f(0)e^t\)뿐이다. 방정식의 해집합을 매개해보면 상수 \(c\)에 대하여 \(f(t)=ce^t\)가 일반해인 셈이다.
예제 6.3.7. (6.3.12)의 해.
(6.3.12)의 해는 \(f(t)=f(0)e^t\)임을 보여라.
단서.
\(g(t)=\frac{f(t)}{e^t}\)을 미분하여라. 이로부터 \(g(t)\)가 상수함수임을 보여라.
일반화하면
\begin{equation*}
f'(t)=\lambda f(t) \Rightarrow f(t)=f(0)e^{\lambda t}
\end{equation*}
가 성립한다.
위의 논의를 발전시켜보자. 두 함수 \(y_1(t),y_2(t)\)에 관한 연립미분방정식
\begin{align*}
y_1'(t) \amp = -y_1(t)+3y_2(t)\\
y_2'(t) \amp = 3y_1(t)-y_2(t)
\end{align*}
를 생각해보자. \(t\)에 관한 두 벡터 \(\boldsymbol y = (y_1(t),y_2(t))\)와 \(\boldsymbol y' = (y_1'(t),y_2'(t))\)의 관계는
\begin{equation}
\frac{d\boldsymbol y}{dt} = \begin{bmatrix}
-1 \amp 3 \\ 3 \amp -1
\end{bmatrix}
\boldsymbol y \tag{6.3.13}
\end{equation}
으로 표현된다. 행렬 \(\begin{bmatrix} -1 \amp 3 \\ 3 \amp -1 \end{bmatrix}\)을 대각화로부터 얻은 분해
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
1 \amp 1 \\ 1 \amp -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \amp 3 \\ 3 \amp -1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \amp 0 \\ 0 \amp -4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \amp 1 \\ 1 \amp -1
\end{bmatrix}\tag{6.3.14}
\end{equation}
를 이용하자. (6.3.13)의 좌변에 \(\begin{bmatrix}1 \amp 1 \\ 1 \amp -1\end{bmatrix}\)을 곱하고, 관계식 (6.3.14)을 대입하면
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
y_1'(t)+y_2'(t) \\ y_1'(t)-y_2'(t)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \amp 0 \\ 0 \amp -4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1(t)+y_2(t) \\ y_1(t)-y_2(t)
\end{bmatrix}
\end{equation*}
을 얻는다. 행별로 보면
\begin{align*}
\frac{d}{dt}\left(y_1(t)+y_2(t)\right)= \amp 2\left(y_1(t)+y_2(t)\right)\\
\frac{d}{dt}\left(y_1(t)-y_2(t)\right)= \amp -4\left(y_1(t)-y_2(t)\right)
\end{align*}
이고 각각 풀면
\begin{align*}
y_1(t)+y_2(t)= \amp e^{2t}+a\\
y_1(t)-y_2(t)= \amp e^{-4t}+b
\end{align*}
이다. (단, \(a,b\)는 적분상수.) 정리하면,
\begin{align*}
y_1(t) = \amp \frac{1}{2}\left(e^{2t}+e^{-4t}\right) + c_1\\
y_2(t) = \amp \frac{1}{2}\left(e^{2t}-e^{-4t}\right) + c_2
\end{align*}
이다. (단, \(c_1,c_2\)는 적분상수.)
예제 6.3.8. 지수함수로 표현.
\(\boldsymbol y = e^{t\left[\begin{smallmatrix}
-1 \amp 3 \\ 3 \amp -1
\end{smallmatrix}\right]} + \boldsymbol c\) 가 (6.3.13)을 만족함을 보여라. (단, \(\boldsymbol c \in \mathbf R^2\)은 적분상수.)
예제 6.3.9. 초기조건 추가.
예제 6.3.10. 두 번 미분.
미분방정식
\begin{equation}
y''(t)=y'(t)+y(t)\tag{6.3.15}
\end{equation}
은
\begin{equation*}
\boldsymbol z =\begin{bmatrix}
y'(t) \\ y(t)
\end{bmatrix}
\end{equation*}
로 놓으면
\begin{equation*}
\frac{d\boldsymbol z}{dt}
=
\begin{bmatrix}
1 \amp 1
\\
1 \amp 0
\end{bmatrix}
\boldsymbol z
\end{equation*}
