정리 5.2.1.
\(n \times n\)행렬 \(A\)가 가역일 필요충분조건은 다음 중 하나를 만족하는 것이다.
- \(\displaystyle \det(A)\not=0\)
- \(\displaystyle \operatorname{rank}(A)=n\)
- \(\displaystyle \ker(A)=0\)
- \(A\)의 열벡터는 선형독립
- \(A\)의 행벡터는 선형독립
Section 5.2 행렬식의 응용
Subsection 5.2.1 크레이머 법칙
\(A\)가 정사각행렬일 때 연립방정식
\begin{equation}
A\boldsymbol x = \boldsymbol b\tag{5.2.1}
\end{equation}
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}a\amp b \\c \amp d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}
\end{equation*}
꼴인데 중간 벡터에 열벡터 \(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)를 추가해
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}a\amp b \\c \amp d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\amp0\\y\amp1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e\amp b\\f\amp d\end{bmatrix}
\end{equation*}
로 만들자. 행렬식을 취하면
\begin{equation*}
(ad - bc) \cdot (x \cdot 1 - 0\cdot y) = ef-bd
\end{equation*}
이고 정리하면
\begin{equation*}
x = \frac{ef-bd}{ad-bc}
\end{equation*}
이다. 즉, 두 행렬식의 비로 나타내었다. \(y\)를 표현하기 위해서는
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}a\amp b \\c \amp d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\amp x\\0\amp y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\amp e\\c\amp f\end{bmatrix}
\end{equation*}
의 행렬식으로부터
\begin{equation*}
(ad-bc)(1\cdot y - x \cdot 0) = ac-ef
\end{equation*}
를 얻고 정리해
\begin{equation*}
y = \frac{ac-ef}{ad-bc}
\end{equation*}
를 얻을 수 있다.
일반적인 크레이머 법칙도 같은 관찰에 근거한다. \(3 \times 3\)의 경우
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \amp 0 \amp 0
\\
x_2 \amp 1 \amp 0
\\
x_3 \amp 0 \amp 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\boldsymbol b \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}
\end{equation*}
에 행렬식을 취해
\begin{equation*}
\left(\det A \right) \cdot x_1 = \det
\begin{bmatrix}
\boldsymbol b \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}
\end{equation*}
를 얻는다. \(x_1\)에 관해 정리하면
\begin{equation*}
x_1 = \frac{\det \begin{bmatrix}
\boldsymbol b \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix}
\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}}
\end{equation*}
이다.
같은 방법으로
\begin{equation*}
x_2 = \frac{\det \begin{bmatrix}
\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol b \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix}
\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}}
,
\hspace{10pt}
x_3 = \frac{\det \begin{bmatrix}
\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol b
\end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix}
\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3
\end{bmatrix}}
\end{equation*}
를 얻는다.
Subsection 5.2.2 행렬식과 역행렬 표현
\(\mathbf R^n\)의 표준기저를 \(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_n\)이라 하자. 이는 항등행렬 \(I\)의 열벡터이기도 하다. 미지의 \(n \times n\)행렬 \(X=[\boldsymbol x_1\,\cdots\,\boldsymbol x_n]\)에 대한 방정식
\begin{equation*}
AX=I
\end{equation*}
을 생각해보자. \(i\)번째 열을 보면
\begin{equation*}
A \boldsymbol x_i = \boldsymbol e_i
\end{equation*}
인데 크래머의 법칙을 써서 \(\boldsymbol x_i\)의 \(j\)번째 성분 \(x_{ij}\)를 구해보자.
\begin{equation*}
x_j = \frac{\det A(\boldsymbol c_i \leftarrow \boldsymbol e_i)}{\det A}
\end{equation*}
이다. 여기서 편의상 도입한 기호 \(\det A(\boldsymbol c_i \leftarrow \boldsymbol e_i)\)는 \(A\)의 열 \(\boldsymbol c_i\)을 \(\boldsymbol e_i\)으로 대체했다는 뜻이다.
증명.
정사각행렬 \(A\)에 대한 여섯 조건이 모두 동치임을 보이기 위하여 “\(A\)는 가역” \(\Rightarrow\) 조건 3 \(\Rightarrow\) 조건 5 \(\Rightarrow\) 조건 4 \(\Rightarrow\) 조건 2 \(\Rightarrow\) 조건 1 \(\Rightarrow\) “\(A\)는 가역” 임을 보이면 충분하다.
“\(A\)는 가역” \(\Rightarrow\) 조건 3를 보이자. \(A\)의 역행렬을 \(A^{-1}\)라 하자. \(\boldsymbol x \in \ker(A)\)이면 \(A\boldsymbol x=0\)인데, \(A^{-1}\)을 양변에 곱하면 \(\boldsymbol x=0\)을 얻는다. 종합하면 \(\ker(A)=0\)이다.
조건 3 \(\Rightarrow\) 조건 5를 보이자. \(\ker(A)=0\)은 0차원이므로 표 3.5.1에 의하여 \(\operatorname{C}(A^{\operatorname T})\)는 \(n\)차원이다. 따라서 \(A\)의 행벡터는 선형독립이다.
조건 5 \(\Rightarrow\) 조건 4를 보이자. \(A\)의 행벡터가 선형독립이라 가정하자. 표 3.5.1으로부터 \(\dim \operatorname{C}(A)=\dim \operatorname{C}(A^{\operatorname T})\)이 성립하므로, \(A\)의 열공간의 차원은 \(n\)이다. 명제 3.4.9에 의하여 \(A\)의 열벡터는 선형독립이다.
조건 2 \(\Rightarrow\) 조건 1를 보이자. 표 3.5.1에 의하여 \(\operatorname C(A)=\mathbf R^n\)이다. 따라서 표준기저의 원소 \(\boldsymbol e_i\)는 \(\operatorname{C}(A)\)의 원소이고, 다시 말해 적당한 \(\boldsymbol x_i \in \mathbf R^n\)에 대하여 \(A\boldsymbol x_i=\boldsymbol e_i\)이 성립한다. (단, \(i=1,2,\cdots,n\text{.}\)) 행렬 \(X\)를 \(X=[\boldsymbol x_1 \cdots \boldsymbol x_n\)으로 놓으면 \(AX=I\)이다. 행렬식을 취하면 (5.1.14)에 의하여 \(\det(A)\det(X)=\det(I)\)인데 \(\det(I)=1\not=0\)이므로 원하던 결론 \(\det(A)\not = 0\)을 얻는다.
조건 1 \(\Rightarrow\) “\(A\)는 가역”를 보이자. \(\det(A)\not=0\)이면, 크레이머법칙에 의하여 임의의 \(\boldsymbol b\in\mathbf R^n\)에 대하여 \(A\boldsymbol x=\boldsymbol b\)를 만족하는 \(\mathbf R^n\)의 원소 \(\boldsymbol x\)가 존재한다. \(\boldsymbol b\)를 표준기저의 원소 \(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_n\)으로 택해 관계식 \(A\boldsymbol x_i = \boldsymbol e_i\)를 찾고 \(X=[\boldsymbol x_1 \cdots \boldsymbol x_n]\)으로 놓아 \(AX=I\)를 얻는다. \(\det(A)=\det(A^\operatorname{T})\)이므로 \(A^\operatorname T\)에 같은 논리를 적용하면 \(A^\operatorname TY=I\)인 \(n \times n\)행렬 \(Y\)를 찾을 수 있다. 전치하여 \(Y^{\operatorname T}A=I\)로 쓰자. 만약 \(Y^\operatorname T=X\)임을 보인다면 \(AX=XA=I\)이므로 \(X=A^{-1}\)이다. 사실, \(AX=I\)의 좌변에 \(Y^{\operatorname{T}}\)를 곱하면
\begin{equation*}
Y^{\operatorname{T}}AX=Y^{\operatorname{T}}
\end{equation*}
인데 좌변은
\begin{equation*}
(Y^{\operatorname{T}}A)X=IX=X
\end{equation*}
이므로 종합하여 \(Y^\operatorname T=X\)를 얻는다.
Subsection 5.2.3 전치와 행렬식
명제 5.2.2. 전치는 행렬식을 보존.
\(A\)가 정사각이면 \(\det A = \det A^\operatorname{T}\)이다.
증명.
치환을 이용한 행렬식의 정의 (5.1.10)를 이용하자.
\begin{equation*}
\det A = \sum_{P} \operatorname{sign}(P)d(A,P)
\end{equation*}
인 한편
\begin{equation*}
\det A^\operatorname{T} = \sum_{P} \operatorname{sign}(P)d(A^\operatorname{T},P)
\end{equation*}
이므로 원하는 등식을 얻기 위해서는 우변의 항들을 짝지어 같음을 보이면 충분하다. 임의의 치환 \(P\)에 대하여
\begin{equation*}
\operatorname{sign}(P)d(A,P)=\operatorname{sign}(P^\operatorname{T})d(A^\operatorname{T},P^\operatorname{T})
\end{equation*}
임을 보이자.
\begin{equation*}
d(A,P)=d(A^\operatorname{T},P^\operatorname{T})
\end{equation*}
임은 정의로부터 바로 얻는다. 또
\begin{equation*}
\operatorname{sign}(P)=\operatorname{sign}(P^\operatorname{T})
\end{equation*}
도 보이자. 만약 \(P=P_1\cdot \cdots \cdot P_k\)으로 \(P\)가 \(k\)개의 호환 \(P_1,\cdots,P_k\)의 곱이라고 하자. 이때, 각 \(P_i\)가 대칭임을 이용하면 \(P^\operatorname{T}\)는 \(P^\operatorname{T}=P_k\cdot\cdots\cdot P_1\)으로 표현됨을 안다. 따라서 \(\operatorname{sign}(P)=\operatorname{sign}(P^\operatorname{T})=(-1)^k\)로 둘은 같다.
종합하면 원하던 등식을 얻는다.
Subsection 5.2.4 행렬식의 기하학적 의미
\(n \times n\)행렬 \(A\)의 행렬식 \(\det(A)\)의 기하학적 의미를 살펴보자. 먼저 \(n=1\)인 경우를 생각하자.
\begin{equation*}
A=[a]
\end{equation*}
가 나타내는 변환 \(\mathbf R \xrightarrow{x\mapsto ax} \mathbf R\)의 기하학적 의미는 무엇일까? 구간
\begin{equation*}
[p,q] \subset \mathbf R
\end{equation*}
을 변환하면 \(a\)의 부호에 따라
\begin{equation*}
[ap,aq] \text{ 또는 } [aq,ap]
\end{equation*}
를 얻는데 어떤 경우이든지 길이 \(|a|(q-p)\)인 구간을 얻는다. 원 구간의 길이가 \(q-p\)였으므로 길이가 \(|\det(A)|\)배 변하였음을 안다.
\(n=2\) 경우를 생각하자.
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}a\amp 0\\0\amp b\end{bmatrix}
\end{equation*}
이 나타내는 변환은 x축으로 \(a\)배, y축으로 \(b\)배 닮음변환이므로 넓이를 \(|ab|\)배 변화시킨다. 즉, 변환에 의하여 넓이는 \(|\det(A)|\)배 변한다. 이번에는 행렬
\begin{equation}
A=L=\begin{bmatrix}1\amp 0 \\ t \amp 1\end{bmatrix}\tag{5.2.2}
\end{equation}
을 생각해보자.
예제 5.2.3. \(2\times 2\)아랫삼각행렬의 기하학적 의미.
(5.2.2)은 단위 정사각형 \([0,1]\times[0,1]\)을 무엇으로 변환하는가?
단서.
평행사변형.
예제 5.2.3을 일반화하면 행렬 \(L\)은 직사각형을 같은 넓이의 평행사변형으로 변형함을 알 수 있다. 따라서 대응되는 변환은 넓이를 보존함을 알 수 있다. \(\det(L)=1\)이므로 변환을 통해 넓이가 \(|\det(L)|\)배 되었음을 안다.
예제 5.2.4. 윗삼각행렬의 기하학적 의미.
다음을 관찰하여라: 대각성분이 1인 윗삼각행렬은 주어진 직사각형을 같은 넓이의 평행사변형으로 변환한다.
예제 5.2.5. 치환행렬의 기하학적 의미.
다음을 관찰하여라: 치환행렬은 주어진 직사각형을 합동인 직사각형으로 변환한다. 따라서 넓이는 보존된다.
\begin{equation*}
PA=LDU
\end{equation*}
로 쓰자. \(PP^{\operatorname T}=I\)이므로
\begin{equation*}
A=P^\operatorname{T}LDU
\end{equation*}
로 쓸 수 있다. 각 인자 \(P^\operatorname{T}\text{,}\) \(L\text{,}\) \(D\text{,}\) \(U\)가 넓이를 행렬식(의 절댓값)만큼 바꾸어주고 행렬식은 (5.1.14)에 따라 곱셈을 보존하므로, \(A\)를 적용하면 넓이는 \(|\det A|\)배가 된다.
보통 부피란 3차원 공간을 차지하는 정도를 나타내는 용어이다. 1차원의 길이나 2차원의 넓이에 대응되는 3차원 개념인 셈이다. 이를 확장하여 \(n\)-부피란 \(n\)차원 공간에서 주어진 부분집합이 차지하는 영역을 뜻한다. 가령, \(\{(x,y,z,w)| x,y,z,w \in [0,1]\}\)은 단위 상자로 4-부피가 1이다.
명제 5.2.6.
\(n \times n\)행렬 \(A\)를 곱하는 변환에 의하여 \(n\)-부피는 \(|\det A|\)배가 된다.
증명.
연습문제 5.2.5 연습문제: 명제 5.2.6의 증명
다음 과정을 따라 명제 5.2.6을 증명하여라.
1.
\(A=P\)가 치환행렬일 때 명제 5.2.6을 증명하여라.
단서.
상자 모양의 영역을 추적하라.
2.
\(A=E\)가 단일 행연산을 표현하는 소거행렬일 때 명제 5.2.6을 증명하여라.
단서.
상자 모양의 영역을 추적하라. 평행사변형 모양을 찾고, \(부피(X \times Y)=부피(X)\times 부피(Y)\)를 이용하라.
3.
\(A=L\)가 대각성분이 1인 아랫삼각행렬일 때 명제 5.2.6을 증명하여라.
단서.
\(L\)을 소거행렬의 곱으로 표현하라.
4.
(2.4.4)를 이용해 일반적인 경우를 증명하여라.
