\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 3 \\ 2 \amp 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1 \\ 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 \amp 3
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Section 1.3 \(A=CR\)분해와 랭크
Subsection 1.3.1 CR분해의 예
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix} 1\amp 1 \\ 2 \amp 2\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
으로 쓸 수 있다. 이는 \(A=CR\)분해의 예로
\begin{equation*}
C= \begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}, R= \begin{bmatrix} 1 \amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
이다. 문자 C는 열(column)의 머리글자로, 행렬 \(C\)는 \(A\)의 열벡터임에 주목하자.
\begin{equation*}
A = \begin{bmatrix} 1\amp 2 \amp 3\\ 2 \amp 4 \amp 6 \\ 1 \amp 2 \amp 3\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\amp2\amp3\end{bmatrix}
\end{equation*}
임을 쉽게 관찰할 수 있다.
\begin{equation*}
A = \begin{bmatrix} 1\amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 1\end{bmatrix}
\end{equation*}
의 3열 \((1,1,1)\)은 첫 두 열의 선형결합으로
\begin{equation}
(1,1,1) = (1,0,0) + (0,1,1)\tag{1.3.1}
\end{equation}
과 같이 쓸 수 있다.
\begin{equation}
A = \begin{bmatrix} 1\amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1\amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1\amp 0 \amp x \\ 0 \amp 1 \amp y \end{bmatrix}\tag{1.3.2}
\end{equation}
이라면 \((x,y)=(1,1)\)이어야 함을 (1.3.1)에서 선형결합의 (숨겨진) 계수로부터 알 수 있다.
\begin{equation*}
A = \begin{bmatrix} 1\amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1\amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1\amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp 1 \end{bmatrix}
\end{equation*}
도 CR분해의 예다.
Subsection 1.3.2 CR분해의 정의
CR분해는 재귀적으로 정의한다. 즉, 크기가 작은 행렬에 대해 정의하고 이를 바탕으로 더 큰 행렬에 대해서 정의한다.
\(A\)를 \(m \times n\)행렬이라 하자. \(n\)에 따라서 재귀적으로 \(A\)의 CR분해, 즉 \(A=CR\)형태의 행렬곱 표현을 정의하고자 한다.
\(n=1\)인 경우. \(A\)는 하나의 열벡터를 가진다. 이를 \(\boldsymbol v\)라고 하자. 만약 \(\boldsymbol v \not = 0\)이면
\begin{equation*}
A = [\boldsymbol v] [1]
\end{equation*}
으로 정의한다. 즉, \(C=[\boldsymbol v],R= [1]\)이다. 만약 \(\boldsymbol v = 0\)이면 \(C\)는 \(n \times 0\)행렬, \(R\)는 \(0 \times 1\)행렬이다.
\(n=2\)인 경우. \(A\)의 마지막(=두 번째) 열을 \(\boldsymbol v\)라 하자. \(A= [A'\,\,\boldsymbol v]\)로 쓸 수 있다. \(A'\)은 \(n=1\)인 경우를 다루었으므로 \(A'=C'R'\)으로 쓸 수 있다. 원하는 행렬 \(C,R\)은 다음 두 경우로 나누어 구한다.
- \(\displaystyle \boldsymbol v \not \in \operatorname C(A')\)
- \(\displaystyle \boldsymbol v \in \operatorname C(A')\)
\(\boldsymbol v \not \in \operatorname C(A')\)인 경우, \(C=[C'\,\, \boldsymbol v]\)로 두고, \(R\)은 \(A=CR\)이 되도록 고른다.
아래 예시들을 통해 여기까지 잘 이해했는지 확인해보자.
예시 1.3.1. \(2 \times 2\)행렬의 CR분해-1.
예시 1.3.2. \(2 \times 2\)행렬의 CR분해-2.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} 1 \amp 3 \\ 2 \amp 4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \amp 3 \\ 2 \amp 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
예시 1.3.3. \(2 \times 2\)행렬의 CR분해-3.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}0 \amp 3 \\ 0 \amp 4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}3 \\ 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0 \amp 1
\end{bmatrix}
\end{equation*}
예시 1.3.4. \(2 \times 2\)행렬의 CR분해-4.
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1 \amp 0 \\ 2 \amp 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1 \\ 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 \amp 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\(n \ge 3\)의 경우로 확장하는 것은 쉽다. 이전과 마찬가지로 \(A\)의 마지막(=\(n\) 번째) 열을 \(\boldsymbol v\)라 하자. \(A= [A'\,\,\boldsymbol v]\)로 쓸 수 있다. \(A'\)은 재귀에 의하여 \(A'=C'R'\)으로 쓸 수 있다. 원하는 행렬 \(C,R\)은 다음 두 경우로 나누어 구한다.
- \(\boldsymbol v \not \in \operatorname C(A')\)이면 \(C=[C'\,\,\boldsymbol v]\text{.}\)
- \(\boldsymbol v \in \operatorname C(A')\) 이면 \(C=C'\text{.}\)
각 경우 \(R\)은 \(A=CR\)이 되도록 찾는다.
예제 1.3.5. \(R\)의 존재성.
각 단계에서 \(C\)는 특정되나, \(R\)은 주어진 조건을 이용해 찾아야 하는 행렬로 주어진다. 항상 원하는 \(R\)을 찾을 수 있는 이유가 무엇인가?
Subsection 1.3.3 랭크
주어진 행렬 \(A\)의 CR분해
\begin{equation}
A=CR\tag{1.3.3}
\end{equation}
을 생각하자.
정의 1.3.6.
대각행렬의 경우, 대각성분 중 영이 아닌 것의 개수가 랭크와 같다.
정사각행렬이 아닌 경우에도 CR분해가 가능하고, 따라서 랭크도 정의할 수 있다. 가령,
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}1\amp-1\amp2\\2\amp-2\amp4\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\amp-1\amp2\end{bmatrix}
\end{equation*}
이므로 랭크는 1이다.
예제 1.3.7. 행벡터의 랭크.
행벡터의 랭크는 0 또는 1이다. 언제 0인가?
예제 1.3.8. 열벡터의 랭크.
열벡터의 랭크는 0 또는 1이다. 언제 0인가?
Subsection 1.3.4 CR분해와 열벡터의 선형독립
\(A=CR\)이 \(A\)의 CR분해라 하자. \(C\)의 열벡터를 \(\boldsymbol c_1,\cdots,\boldsymbol c_r\)이라 하면 CR분해의 정의로부터 다음 조건을 얻는다.
\begin{align*}
\boldsymbol c_1 \amp \not = 0 \\
\boldsymbol c_2 \amp \not \in \operatorname{span}\left(\boldsymbol c_1\right) \\
\boldsymbol c_3 \amp \not \in \operatorname{span}\left(\boldsymbol c_1,\boldsymbol c_2\right) \\
\amp \vdots\\
\boldsymbol c_r \amp \not \in \operatorname{span}\left(\boldsymbol c_1,\cdots,\boldsymbol c_{r-1}\right)
\end{align*}
위 조건이 성립할 때, 함의관계
\begin{equation*}
a_1\boldsymbol c_1+\cdots +a_r\boldsymbol c_r =0 \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} a_1=\cdots =a_r=0
\end{equation*}
가 성립하며, 벡터 \(\boldsymbol c_1,\cdots,\boldsymbol c_r\)은 선형독립이라고 부른다. 선형독립 개념은 정의 3.4.1에서 다시 다룬다.
연습문제 1.3.5 연습문제
1.
- 참
- 거짓
\(n\)차원 열벡터 \(\boldsymbol x, \boldsymbol y\)와 \(m \times n\)행렬 \(A\)가 있을 때
\begin{equation*}
A\begin{bmatrix} \boldsymbol x & \boldsymbol y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \boldsymbol x & A \boldsymbol y \end{bmatrix}
\end{equation*}
가 성립한다.
2.
- \(A\)의 \(i\)행과 \(B\)의 \(j\)열의 내적
- \(A\)의 \(j\)행과 \(B\)의 \(i\)열의 내적
행렬곱 \(AB\)의 \((i,j)\)성분은?
3.
- \(9\)
- \(27\)
- \(81\)
\(A, B\)가 \(3 \times 3\)행렬일 때, 곱 \(AB\)를 \(A, B\)의 성분으로부터 계산하려면 실수곱을 몇 번 수행하면 충분한가?
4.
- 참
- 거짓
\(I\)가 \(n \times n\) 항등행렬이고 \(A\)가 \(m \times n\) 행렬일 때, 항상 \(AI=A\)가 성립한다.
5.
- 참
- 거짓
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)이고 \(B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)일 때, \(AB=BA\)이다.
6.
- 참
- 거짓
\((AB)C\not=A(BC)\)인 행렬 \(A,B,C\)는 존재한다. (단, 곱셈이 잘 정의되는 경우만 고려한다.)
7.
- \(0\)
- \(1\)
- \(2\)
- \(3\)
- \(4\)
행렬
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 4 & 5 &6 &7 \end{bmatrix}
\end{equation*}
의 랭크는?
8.
- 항상 선형독립이다.
- 선형의존일 수도 있다.
CR분해 \(A=CR\)에서 \(C\)의 열벡터는..
9.
- \(-2\)
- \(-1\)
- \(0\)
- \(1\)
- \(2\)
CR분해
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 &2 \\ 1 & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & a & 0 &c \\ 0 & b & 1 & d \end{bmatrix}
\end{equation*}
에서 \(a+b\)의 값은?
10.
- \(-2\)
- \(-1\)
- \(0\)
- \(1\)
- \(2\)
CR분해
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 &2 \\ 1 & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & a & 0 &c \\ 0 & b & 1 & d \end{bmatrix}
\end{equation*}
에서 \(c+d\)의 값은?
11.
- 곱하는 순서에 따라 결과가 다를 수 있으므로 \(A(B\boldsymbol x)\) 또는 \((AB)\boldsymbol x\)로 써야한다.
- 괄호 없이 \(AB\boldsymbol x\)로 쓰더라도 의미는 명확하다.
행렬 \(A,B\)와 벡터 \(\boldsymbol x\)의 곱에 관하여 옳은 설명은?
