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선형대수: 강의록 v.1.2.06

김도형

Section 5.1 행렬식의 정의와 계산

Subsection 5.1.1 \(2 \times 2\)행렬식

\(2 \times 2\)행렬의 행렬식을 소개하고 몇 가지 관찰을 해 보자. 행렬식은 영단어 determinant의 세 앞글자를 따와 \(\det\)로 나타낸다. \(2 \times 2\)행렬의 경우
\begin{equation*} \det \begin{bmatrix}a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix}= ad-bc \end{equation*}
로 정의한다. 간단한 표현임에도 그 속에는 풍부한 구조가 있다.

관찰 5.1.1. \(2\times2\)행렬식의 선형성.

행렬식을 첫 열\(\begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix}\)에 대한 함수로 보면 덧셈을 보존한다. 즉,
\begin{equation} \det \begin{bmatrix}a+a' \amp b \\ c+c' \amp d \end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix}+\det \begin{bmatrix}a' \amp b \\ c' \amp d \end{bmatrix}\tag{5.1.1} \end{equation}
이다. 그 이유는 \((a+a')d-b(c+c')= (ad-bc)+(a'd-bc')\)이기 때문이다.
행렬식은 스칼라곱도 보존한다. 즉
\begin{equation} \det \begin{bmatrix}ta \amp b \\ tc \amp d \end{bmatrix}= t \cdot \det \begin{bmatrix}a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix}\tag{5.1.2} \end{equation}
이다. 그 이유는 \((ta)d-b(tc)=t(ad-bc)\)이기 때문이다.
종합하면 선형결합도 보존한다. 즉,
\begin{equation} \det\begin{bmatrix}t\boldsymbol c_1+t'\boldsymbol c_1' \amp \boldsymbol c_2 \end{bmatrix} = t \cdot \det \begin{bmatrix}\boldsymbol c_1 \amp \boldsymbol c_2 \end{bmatrix} +t' \cdot \det \begin{bmatrix}\boldsymbol c_1' \amp \boldsymbol c_2 \end{bmatrix} \tag{5.1.3} \end{equation}
이다.

관찰 5.1.2. \(2\times2\)행렬과 열교환.

열을 맞바꾸면
\begin{equation} \det \begin{bmatrix}a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix}=-\det \begin{bmatrix}b \amp a \\ d \amp c \end{bmatrix}\tag{5.1.4} \end{equation}
으로 부호가 바뀐다.

관찰 5.1.3. \(2\times2\)행렬의 전치와 행렬식.

전치는 행렬식을 보존한다. 즉,
\begin{equation} \det \begin{bmatrix}a \amp b \\ c \amp d \end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}a \amp c \\ b \amp d \end{bmatrix}\tag{5.1.5} \end{equation}
이다.

Subsection 5.1.2 \(3\times3\)행렬식

\(3 \times 3\)행렬식의 정의는
\begin{equation} \begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{bmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\tag{5.1.6} \end{equation}
로, 여섯 항으로 구성된다.

보조설명 5.1.4. \(3 \times 3\) 행렬 기억법.

종종 사용되는 기억법을 소개한다. 행렬을 두 번 반복해
\begin{equation} \begin{matrix} a\amp b \amp c \\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{matrix} \hspace{10pt} \begin{matrix} a\amp b \amp c \\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{matrix}\tag{5.1.7} \end{equation}
를 생각한다.
\(3 \times 3\)행렬의 행렬식
\begin{equation} \det \begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{bmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\tag{5.1.8} \end{equation}
의 첫 세 항을 양수항, 뒷 세 항을 음수항이라 하자.
양수항은 (5.1.7)에서 우하방향 화살표로 기억할 수 있다. 비슷하게, 음수항은 좌하방향 화살표로 기억할 수 있다.
양수항
양수항은 우하방향에서 얻는다. 파란 선이 지나가는 항을 곱해 더한다.
음수항
음수항은 좌하방향에서 얻는다. 파란 선이 지나가는 항을 곱해 뺀다.

관찰 5.1.5. \(3\times3\)행렬식의 선형성.

행렬식을 첫 열에 대한 함수로 보면 선형결합을 보존한다. 즉,
\begin{equation*} \det \begin{bmatrix} ta+t'a'\amp b \amp c \\ td+t'd' \amp e \amp f \\ tg+t'g' \amp h \amp i \end{bmatrix} = t\det\begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d\amp e \amp f \\ g\amp h \amp i \end{bmatrix} + t'\det\begin{bmatrix} a'\amp b \amp c \\ d' \amp e \amp f \\ g' \amp h \amp i \end{bmatrix} \end{equation*}
이다. (5.1.6)을 이용해 확인해보라.

관찰 5.1.6. \(3\times3\)행렬식과 열교환.

열벡터를 바꾸면 부호가 바뀐다. 즉,
\begin{equation*} \begin{bmatrix} b\amp a \amp c \\ e\amp d \amp f \\ h\amp g \amp i \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d\amp e \amp f \\ g\amp h \amp i \end{bmatrix} \end{equation*}
이다. (5.1.6)을 이용해 확인해보라.

예제 5.1.7. 열교환과 부호.

관찰 5.1.6에서는 1열과 2열을 교환하였다. 이번에는 2열과 3열을 교환하여 여전히 행렬식의 부호가 바뀌는지 확인하여라.

예제 5.1.8. 행교환과 부호.

관찰 5.1.6에서는 1열과 2열을 교환하였다. 이번에는 1행과 2행을 교환하여 여전히 행렬식의 부호가 바뀌는지 확인하여라.

관찰 5.1.9. 큰 행렬식 속 작은 행렬식.

\(3\times3\)행렬식 속 \(2\times2\)행렬식을 찾아보자. 여섯 항을 둘씩 묶어
\begin{align*} \amp aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\\ = \, \amp a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-cg) \end{align*}
로 쓸 수 있는데, 행렬식으로 표현하면
\begin{equation} \det \begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d\amp e \amp f \\ g\amp h \amp i \end{bmatrix} = a \det \begin{bmatrix} e \amp f \\ h \amp i \end{bmatrix} -b \det \begin{bmatrix} d\amp f \\ g\amp i \end{bmatrix} +c \det \begin{bmatrix} d\amp e \\ g\amp h \end{bmatrix}\tag{5.1.9} \end{equation}
이 된다.

Subsection 5.1.3 치환을 이용한 행렬식 정의

행렬식을 표현하기 위해서 \(2 \times 2\)행렬은 두 항, \(3 \times 3\)행렬은 여섯 항이 필요했다. 이를 일반화하는 치환을 이용한 행렬식의 정의를 소개한다.
먼저 치환의 부호 개념을 소개한다.

정의 5.1.10. 부호 혹은 홀짝성.

보조설명 2.4.1에서 치환의 특수한 경우로 호환을 소개하였다. 짝수 개의 호환의 곱으로 표현되는 치환을 짝치환이라 한다. 홀수 개의 호환의 곱으로 표현되는 치환을 홀치환이라 한다. 치환의 부호는 짝치환의 경우 \(1\text{,}\) 홀치환의 경우 \(-1\)으로 정한다.
정의에 따르면, 치환 \(P\)가 호한 \(r\)개의 곱으로 표현될 때, \(P\)의 부호는 \((-1)^r\)이다.

예시 5.1.11. 호환의 홀짝성과 부호.

호환은 홀치환이며, 따라서 부호는 \(-1\)이다.

증명.

연습문제.

증명.

연습문제.

증명.

연습문제.
\(A\)가 \(n \times n\)행렬이고 \(P\)가 \(n \times n \)치환이라고 하자. 행렬식은
\begin{equation} \det A = \sum_{P} \operatorname{sign}(P) \cdot d(A,P)\tag{5.1.10} \end{equation}
으로 정의한다. 단, \(d(A,P)\)는 \(A\)의 성분 중 \(P\)의 1 위치에 해당하는 것을 모두 곱한 것을 뜻한다. 가령
\begin{equation*} d\left( \begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d\amp e \amp f \\ g\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) = bfg \end{equation*}
이다.
행렬식 표현 중 하나의 항
치환의 \(P\)의 1 위치에 대응하는 \(A\)의 성분을 모두 곱한다.
보기 5.1.15. \(3\times3\)행렬식 표현 중 하나의 항

Subsection 5.1.4 여인자를 이용한 행렬식 정의

여인자를 이용해 행렬식을 재귀적으로 정의하는 방법도 있다. 이는 관찰 5.1.9를 일반화한 것으로 볼 수 있다.
관찰 5.1.9를 \(4\times 4\)행렬의 경우로 확장해보자. \(4 \times 4\)행렬의 행렬식을 \(3 \times 3\)행렬의 행렬식을 이용해 표현하려 한다. \(\boldsymbol x, \boldsymbol y, \boldsymbol z, \boldsymbol z \in \mathbf R^3\)일 때,
\begin{equation*} \det \begin{bmatrix} a \amp b \amp c \amp d \\ \boldsymbol x \amp \boldsymbol y \amp \boldsymbol z \amp \boldsymbol w \end{bmatrix} = a \det \begin{bmatrix} \boldsymbol y \amp \boldsymbol z \amp \boldsymbol w \end{bmatrix} - b \det \begin{bmatrix} \boldsymbol x \amp \boldsymbol z \amp \boldsymbol w \end{bmatrix} + c \det \begin{bmatrix} \boldsymbol x \amp \boldsymbol y \amp \boldsymbol w \end{bmatrix} - d \det \begin{bmatrix} \boldsymbol x \amp \boldsymbol y \amp \boldsymbol z \end{bmatrix} \end{equation*}
이다.

증명.

Subsection 5.1.5 행렬식의 성질과 특성

행렬식의 몇 가지 성질을 소개한다.

증명.

(5.1.10)의 항을 각각 계산해 더하자. 항등치환에 대응되는 항의 값은 \(1\)이다. 왜냐하면 항등치환은 0개의 치환의 곱이므로 양의 부호를 갖고, 항등행렬의 대각성분의 곱은 1이기 때문이다. 한편, 항등치환이 아닌 치환의 경우 대응하는 항은 0이다. 따라서, (5.1.10)을 정리하면 \(1+0+0+\cdots=1\)이다.
곧 다룰 명제 5.1.18의 이해를 돕기 위해 (5.1.10)의 항인
\begin{equation*} d\left( \begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d\amp e \amp f \\ g\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) = bfg \end{equation*}
를 생각해보자. 1열 벡터
\begin{equation*} \begin{bmatrix} a \\ d \\ g \end{bmatrix} \end{equation*}
에 스칼라 \(t\)를 곱하면
\begin{equation*} d\left( \begin{bmatrix} ta\amp b \amp c \\ td\amp e \amp f \\ tg\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) = bf(tg) \end{equation*}
인데, 달리 표현하면
\begin{equation} d\left( \begin{bmatrix} ta\amp b \amp c \\ td\amp e \amp f \\ tg\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) = t \cdot d\left( \begin{bmatrix} a\amp b \amp c \\ d\amp e \amp f \\ g\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right)\tag{5.1.11} \end{equation}
이다. 즉, 1열에 대한 스칼라곱이 보존됨을 안다.
이번에는 스칼라곱 대신 덧셈을 해보자.
\begin{equation*} \begin{bmatrix} a \\ d \\ g \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a' \\ d' \\ g' \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a'' \\ d'' \\ g'' \end{bmatrix} \end{equation*}
라면
\begin{equation*} d\left( \begin{bmatrix} a'+a''\amp b \amp c \\ d'+d''\amp e \amp f \\ g'+g''\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) =bf(g'+g'')=bfg'+bfg'' \end{equation*}
이므로
\begin{equation} d\left( \begin{bmatrix} a'+a''\amp b \amp c \\ d'+d''\amp e \amp f \\ g'+g''\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) = d\left( \begin{bmatrix} a'\amp b \amp c \\ d'\amp e \amp f \\ g'\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) + d\left( \begin{bmatrix} a''\amp b \amp c \\ d''\amp e \amp f \\ g''\amp h \amp i \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right)\tag{5.1.12} \end{equation}
이다. 즉, 1열에 대한 벡터의 덧셈이 보존된다.
앞의 두 관찰 (5.1.11), (5.1.12)을 종합하면, 1열에 대한 선형결합을 보존한다. 즉,
\begin{equation} d\left( \begin{bmatrix} p\boldsymbol x + q \boldsymbol y \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) = p \cdot d\left( \begin{bmatrix} \boldsymbol x \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right) + q\cdot d\left( \begin{bmatrix} \boldsymbol y \amp \boldsymbol c_2 \amp \boldsymbol c_3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\amp 1 \amp 0 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \right)\tag{5.1.13} \end{equation}
이다. (단, \(p,q\)는 스칼라.)

증명.

(5.1.10)의 각 항인 \(\operatorname{sign}(P)d(A,P)\)가 각 열에 대해 선형변환을 보존함을 보이면 충분하다. 더 나아가 \(d(A,P)\)가 각 열에 대해 선형변환을 보존함을 보이면 충분하다.
과연 \(d(A,P)\)이 각 열에 대해 선형변환을 보존하는지 보이자.
\begin{equation*} A=\begin{bmatrix} \boldsymbol c_1 \amp \cdots \amp \boldsymbol c_n \end{bmatrix} \end{equation*}
이라 하고 \(i\)열이 다음 식
\begin{equation*} \boldsymbol c_i = a\boldsymbol x + b \boldsymbol y \end{equation*}
로 주어졌다고 하자. 나머지 열 \(\boldsymbol c_1,\cdots,\boldsymbol c_{i-1},\boldsymbol c_{i+1},\cdots,\boldsymbol c_n\)을 상수로 보고 함수
\begin{equation*} f(a\boldsymbol x + b \boldsymbol y) =d(A,P) \end{equation*}
를 도입하자. 원하는 관계식은
\begin{equation*} f(a\boldsymbol x + b \boldsymbol y) =af(\boldsymbol x)+bf(\boldsymbol y) \end{equation*}
이다. 확인하기 위해서는 (5.1.13) 확인에 사용했던 방법을 다시 적용하면 된다.

증명.

정사각행렬 \(A\)의 \(i\)열과 \(j\)열을 맞교환해 얻은 행렬을 \(B\)이라 하자. (단, \(i<j\text{.}\)) \(i\)와 \(j\)를 교환하는 호환을 \(Q\)라 하자. 임의의 치환 \(P\)에 대하여 두 관계식 \(d(B,P)=d(A,PQ)\)과 \(\operatorname{sign}(P)=-\operatorname{sign}(PQ)\)가 성립한다. (5.1.10)에 의하면
\begin{equation*} \det (A)=-\det(B) \end{equation*}
이다.

증명.

Subsection 5.1.6 행렬곱과 행렬식

행렬식과 곱셈은 관계식
\begin{equation} \det\left(AB\right)=(\det A)(\det B)\tag{5.1.14} \end{equation}
을 만족한다. “행렬식은 곱셈을 보존한다”고 말해도 좋고, “곱셈과 행렬식의 순서는 바꾸어도 그 값은 같다”다고 말해도 좋다. (5.1.14)가 성립하는 이유에 관하여 연습문제 5.1.9를 참조하라.

연습문제 5.1.7 연습문제: 명제 5.1.16의 증명

1.

(5.1.10)에서 치환 \(P\)의 개수는 \(n!\)임을 보여라.

2.

(5.1.10)에서 다음 조건을 만족하는 치환 \(P\)의 개수는 \((n-1)!\)임을 보여라.
  • 조건: \(P\)의 1열은 \((1,0,\cdots,0)\)이다.

3.

(5.1.10)에서 다음 조건을 만족하는 치환 \(P\)의 개수는 \((n-1)!\)임을 보여라.
  • 조건: \(P\)의 1열은 \((0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)\)이다.

4.

(5.1.10)에서 등장하는 치환 \(P\)의 1열은 \(n\)가지이다.

5.

합 (5.1.10)의 \(n!\)개 항을 치환의 1열에 따른 \(n\)개 합으로 나누고, 명제 5.1.16를 증명하여라.

연습문제 5.1.8 연습문제: 정리 5.1.20의 증명

다음 과정을 통해 정리 5.1.20를 증명하여라.

1. \(3 \times 3\) 행렬의 경우.

\(\delta\)는 1열에 의해 선형결합을 보존하므로
\begin{equation*} \delta \begin{bmatrix} a \amp b \amp c \\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{bmatrix} = a\cdot \delta \begin{bmatrix} 1 \amp b \amp c \\ 0 \amp e \amp f \\ 0 \amp h \amp i \end{bmatrix} + d\cdot \delta \begin{bmatrix} 0 \amp b \amp c \\ 1 \amp e \amp f \\ 0 \amp h \amp i \end{bmatrix} + g \cdot \delta \begin{bmatrix} 0 \amp b \amp c \\ 0 \amp e \amp f \\ 1 \amp h \amp i \end{bmatrix} \end{equation*}
임을 보여라.

2.

첫 항의 인수
\begin{equation*} \delta \begin{bmatrix} 1 \amp b \amp c \\ 0 \amp e \amp f \\ 0 \amp h \amp i \end{bmatrix} \end{equation*}
가 2열에 대해 대해 선형이므로
\begin{equation*} \delta \begin{bmatrix} 1 \amp b \amp c \\ 0 \amp e \amp f \\ 0 \amp h \amp i \end{bmatrix} = b \cdot \delta \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp f \\ 0 \amp 0 \amp i \end{bmatrix} + e \cdot \delta \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp c \\ 0 \amp 1 \amp f \\ 0 \amp 0 \amp i \end{bmatrix} + h\cdot \delta \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp f \\ 0 \amp 1 \amp i \end{bmatrix} \end{equation*}
임을 보여라. 또,
\begin{equation*} \delta \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \amp c \\ 0 \amp 0 \amp f \\ 0 \amp 0 \amp i \end{bmatrix} =0 \end{equation*}
을 보여라.

3.

\(P\)가 (\(3 \times 3\))치환행렬일 때,
\begin{equation*} \delta P = \det P \end{equation*}
임을 보여라.

4.

종합하여
\begin{equation*} \delta \begin{bmatrix} a \amp b \amp c \\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a \amp b \amp c \\ d \amp e \amp f \\ g \amp h \amp i \end{bmatrix} \end{equation*}
임을 보여라.

5.

\(3 \times 3\)경우 증명을 일반화하여 \(n \times n\)행렬에 대해 증명하여라.

연습문제 5.1.9 연습문제: (5.1.14)의 증명

다음 과정을 따라 (5.1.14)를 증명하여라.

1.

\(\det A=0\)이면 \(\det(AB)=0\)임을 보여라.
\(\det A\not=0\)이라 가정하자. \(\frac{\det(AB)}{\det B}=\det B\)가 임의의 \(B\)에 성립함을 보이자. \(\delta(B):=\frac{\det(AB)}{\det B}\)라 하자.

3.

\(\delta\)가 명제 5.1.18를 만족함을 보여라.
단서.
\(AB\)\(B\)\(A\)\(A(a\boldsymbol x+b\boldsymbol y)=aA\boldsymbol x+bA\boldsymbol y\)

4.

\(\delta\)가 명제 5.1.19를 만족함을 보여라.
단서.
\(AB\)는 \(B\)의 각 열에 \(A\)를 곱해서 얻어진다.
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