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선형대수: 강의록 v.1.2.06

김도형

Section 3.3 \(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)의 해법

Subsection 3.3.1 핵심관찰

\(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)의 모든 해를 찾게 해 주는 핵심 관찰은
\begin{equation} A(\boldsymbol v + \boldsymbol w) = A\boldsymbol v + A\boldsymbol w\tag{3.3.1} \end{equation}
에서 출발한다. 만약
\begin{equation} A\boldsymbol x_{\operatorname p} = \boldsymbol b\tag{3.3.2} \end{equation}
이고
\begin{equation} A \boldsymbol n = 0\tag{3.3.3} \end{equation}
이라면 (3.3.1)에 의해
\begin{equation*} A(\boldsymbol x_{\operatorname p} + \boldsymbol n) = A\boldsymbol x_{\operatorname p} + A\boldsymbol n= \boldsymbol b + 0 = \boldsymbol b \end{equation*}
가 된다. 따라서, (3.3.2), (3.3.3)을 만족하는 \(\boldsymbol x_{\operatorname p}\)와 \(\boldsymbol n\)을 찾아
\begin{equation} \boldsymbol x = \boldsymbol x _{\operatorname p} + \boldsymbol n\tag{3.3.4} \end{equation}
으로 표현하고자 한다.
\(A \boldsymbol x = \boldsymbol b\)를 만족하는 모든 \(\boldsymbol x\)는 (3.3.4)으로 표현될까? 항상 가능하다. 만약
\begin{equation*} A \boldsymbol v = \boldsymbol b \end{equation*}
라면
\begin{equation*} A (\boldsymbol v - \boldsymbol x_{\operatorname p})= A \boldsymbol v - A\boldsymbol x_{\operatorname p}= \boldsymbol b - \boldsymbol b = 0 \end{equation*}
이므로, 다시 (3.3.1)에 의해
\begin{equation*} \boldsymbol v = \boldsymbol x_{\operatorname{p}} + \left(\boldsymbol v - \boldsymbol x_{\operatorname{p}}\right) \end{equation*}
으로 표현된다.
(3.3.4)에서 \(\boldsymbol x_{\operatorname p}\)를 특수해라고 한다. \(\boldsymbol x\)는 일반해라고 하며 \(\boldsymbol n \in \operatorname{ker}(A)\)로 매개한다. \(A\boldsymbol x=\boldsymbol b\)의 해법은 특수해를 찾는 부분과 매개하는 \(\boldsymbol n\)를 \(\operatorname{ker}(A)\)의 기저를 이용해 묘사하는 부분으로 나뉜다. 두 부분 모두 \(PA=LU\)분해로 환원할 수 있다.

Subsection 3.3.2 일반해 찾기 예시

먼저 \(A=U\)인 경우를 살피자.

예시 3.3.1. \(2 \times 3\) 일반해.

연립방정식
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1\amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 0 \amp -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{equation*}
의 해를 모두 찾자. 자유변수는 \(x_2\text{,}\) 종속변수는 \(x_1, x_3\)이다. 특수해는 \(x_3\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_1\) 순서로 찾으면
\begin{equation*} \boldsymbol x_{\operatorname p} =(3,0,-1) \end{equation*}
이다. 커널의 기저를 찾으면
\begin{equation*} \boldsymbol v_2=(-2,1,0) \end{equation*}
이다. 종합하면, 일반해는
\begin{equation*} \boldsymbol x = (3,0,-1) + c_2(-2,1,0)\hspace{10pt}\text{(단, $c_2$는 실수)} \end{equation*}
이다.

예시 3.3.2. \(3\times6\) 일반해.

(3.2.4)의 \(U_1\)를 생각하자.
\begin{equation*} U_1\boldsymbol x = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} \end{equation*}
의 일반해를 구하자. 임의로 \(x_2=x_4=x_6=0\) 조건을 부여해 특수해를 구해보면
\begin{equation*} \boldsymbol x_{\operatorname p}= (1,0,0,0,0,0) \end{equation*}
이다. 커널의 기저로 절 3.2.3에서 구한  \(\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_4, \boldsymbol v_6\)를 사용하면 일반해는
\begin{equation*} \boldsymbol x = (1,0,0,0,0,0)+c_2\boldsymbol v_2+c_4\boldsymbol v_4+c_6\boldsymbol v_6\hspace{10pt}\text{(단, $c_2,c_4,c_6$은 실수)} \end{equation*}
이다.

예시 3.3.3. \(4 \times 3\) 해 없음.

연립방정식
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1\amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp -2 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1\\0\\-1 \end{bmatrix} \end{equation*}
은 해가 없다. 그 이유는 4행의 조건 \(0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-1\)을 만족시킬 수 없기 때문이다.
일반적으로
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1\amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp -2 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\b_3\\b_4 \end{bmatrix} \end{equation*}
의 해가 존재할 필요충분조건은 \(b_4=0\)이다.

예시 3.3.4. \(4 \times 3\) 유일한 해.

연립방정식
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1\amp 2 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \amp -2 \\ 0\amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\b_3\\0 \end{bmatrix} \end{equation*}
은 해가 유일하게존재한다. 존재성은 우변의 4행이 0이기 때문에 보장되고, 자유변수가 없기 때문에 유일하다. 일반해 형태
\begin{equation*} \boldsymbol x = \boldsymbol x_{\operatorname p}+ \boldsymbol n \end{equation*}
에서 \(\boldsymbol n \in \operatorname{ker}(U)\)인데, 이 경우 \(\operatorname{ker}(U)=\{0\}\)이어 단 하나의 원소만을 포함한다.
연립방정식
\begin{equation} A\boldsymbol x=\boldsymbol b\tag{3.3.5} \end{equation}
의 일반해를 분해 \(PA=LU\)를 이용해 접근하자. 역시 원하는 형태는
\begin{equation*} \boldsymbol x = \boldsymbol x_{\operatorname p}+ \boldsymbol n \end{equation*}
이다.
먼저 특수해를 구하자. (3.3.5) 양변에 \(P\)를 곱해
\begin{equation*} PA\boldsymbol x=P\boldsymbol b \end{equation*}
를 얻고, \(PA=LU\)를 이용하면
\begin{equation*} LU\boldsymbol x=P\boldsymbol b \end{equation*}
가 된다. \(L^{-1}\)를 곱해
\begin{equation*} U\boldsymbol x = L^{-1}P\boldsymbol b \end{equation*}
를 얻는다. 이를 풀어 특수해 \(\boldsymbol x_{\operatorname p}\)를 구한다.
\(\boldsymbol n\)을 구할 때에는
\begin{equation} \operatorname{ker}(A)=\operatorname{ker}(U)\tag{3.3.6} \end{equation}
이용해 윗삼각행렬 \(\operatorname{ker}(U)\)의 커널 구하는 방법을 쓰면 된다.
(3.3.6)이 성립하는 이유를 생각해보자. \(B\)가 가역행렬이라면
\begin{equation*} B\boldsymbol y = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol y = 0 \end{equation*}
이 성립함을 \(B^{-1}\)을 곱해 확인할 수 있다. \(PA=LU\)분해에서 \(P\)와 \(L\)이 가역이므로 이 성질을 두 번 사용하면
\begin{equation*} A\boldsymbol x=0 \Leftrightarrow PA\boldsymbol x=0 \Leftrightarrow LUx=0 \Leftrightarrow U\boldsymbol x=0 \end{equation*}
을 얻는다. 즉, (3.3.6)이 성립한다.

Subsection 3.3.3 해의 존재성과 열공간

해의 존재성에 대해 집중하자. 언제
\begin{equation*} A \boldsymbol x = \boldsymbol b \end{equation*}
의 해가 존재할까? \(A\)가 \(m \times n\)행렬일 때
\begin{equation*} \operatorname{C}(A) = \{A\boldsymbol x | \boldsymbol x \in \mathbf R^n\} \end{equation*}
이므로 해가 존재할 필요충분조건은
\begin{equation*} \boldsymbol b \in \operatorname{C}(A) \end{equation*}
이다.

관찰 3.3.5. 해의 존재성.

\(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)의 해가 존재 \(\Leftrightarrow\) \(\boldsymbol b \in \operatorname{C}(A)\)
만약
\begin{equation} \operatorname{C}(A)=\mathbf R^m\tag{3.3.7} \end{equation}
이라면 \(\boldsymbol b\)가 무엇이든지 관계없이 항상 \(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)는 해를 갖는다.
해의 존재성이 보장되는 경우를 포착하기 위해서 (3.3.7)가 성립하는 조건을 사용할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.
  • 모든 행에 축이 있다.
  • 가역이다.
  • 행벡터가 선형독립이다.

Subsection 3.3.4 해의 유일성과 커널

해의 유일성에 집중해보자. 일반해는 특수해 \(\boldsymbol x_{\operatorname p}\)에 대하여
\begin{equation*} \boldsymbol x = \boldsymbol x_{\operatorname p} + \boldsymbol n, \hspace{10pt}\text{(단, $\boldsymbol n \in \ker(A)$)} \end{equation*}
로 표현되므로, 해가 유일하기 위해서는
\begin{equation} \ker(A)=\{0\}\tag{3.3.8} \end{equation}
이어야 한다. (3.3.8)이기 위한 조건의 예를 들면 다음과 같다.
  • 모든 열에 축이 있다.
  • 가역이다.
  • 열벡터들이 선형독립이다.

Subsection 3.3.5 \(m < n\)일 때 해의 개수

행렬의 모양만으로부터 알 수 있는 사실이 하나 있다. 여기서는 \(m < n\)이라 가정하자. 축은 행마다 최대 한 개 있으므로, 모든 열이 축을 가질 수 없다. 즉, 자유변수가 있어야만 한다.

관찰 3.3.6.

\(m < n\)이면 \(\ker(A)\)는 무한집합이다.
따라서, \(A \boldsymbol x = \boldsymbol b\)는 해가 없거나 무한히 많다.

연습문제 3.3.6 연습문제

1.

    연립방정식 \(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)의 특수해 \(\boldsymbol x_{\operatorname{p}}\)와 \(\operatorname{ker}(A)\)의 원소 \(\boldsymbol x_{\operatorname{n}}\)을 더해 얻은 벡터 \(\boldsymbol x_{\operatorname{p}}+\boldsymbol x_{\operatorname{n}}\)은 항상 원래 연립방정식 \(A\boldsymbol x=\boldsymbol b\)의 해가 된다.
  • 참
  • 거짓

2.

    연립방정식 \(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)의 임의의 해 \(\boldsymbol x_0\)는 반드시 어떤 특수해 \(\boldsymbol x_{\operatorname{p}}\)와 \(\operatorname{ker}(A)\)의 어떤 원소 \(\boldsymbol x_{\operatorname{n}}\)의 합으로 표현할 수 있다.
  • 참
  • 거짓

3.

    \(\left[A \,\boldsymbol b \right]\)를 소거하여 \(\left[R_0 \,\boldsymbol d \right]\)를 얻었다. 연립방정식 \(A\boldsymbol x=\boldsymbol b\)에 대한 주장으로 옳은 것은?
  • 소거에 성공하였으므로 해가 존재한다.
  • 경우에 따라 해가 존재하지 않을 수 있다.

4.

    자유변수가 없을 때, 해는 항상 유일하게 존재한다.
  • 참
  • 거짓
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