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선형대수: 강의록 v.1.2.06

김도형

Section 6.1 선형변환

Subsection 6.1.1 선형변환의 정의와 예시

정의 6.1.1.

\(V,W\)가 벡터공간일 때, 함수
\begin{equation*} T \colon V \to W \end{equation*}
가 선형결합을 보존하면 \(T\)를 선형변환이라 한다. 즉, \(T\)가 선형변환이기 위해서는
\begin{equation*} T\left(a_1\boldsymbol v_1 + a_2 \boldsymbol v_2\right)=a_1T(\boldsymbol v_1)+a_2T(\boldsymbol v_2) \end{equation*}
가 모든 벡터 \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2 \in V\)와 모든 스칼라 \(a_1,a_2\)에 대해 성립해야 한다.

예시 6.1.2. 행렬곱.

\(A\)가 행렬이면 대응 \(\boldsymbol v \mapsto A\boldsymbol v\)는 선형변환이다. 왜냐하면
\begin{equation*} A(a_1 \boldsymbol v_1 + a_2 \boldsymbol v_2)=a_1A\boldsymbol v_1 + a_2 A\boldsymbol v_2 \end{equation*}
이기 때문이다.

예시 6.1.3. 벡터의 평행이동.

벡터의 평행이동은 선형변환이 아니다. 가령, 수직선에서 오른쪽으로 \(1\)만큼 이동하는 변환은 선형변환이 아니다. \((ax+by)+1 \not = a(x+1) + b(y+1)\)이기 때문이다.

예시 6.1.4. 함수값계산.

\(V\)를 모든 함수 \(f \colon \mathbf R \to \mathbf R\)의 집합이라 하자. 실수 \(a \in \mathbf R\)에 대하여 대응 \(T_a \colon V \to \mathbf R\)을 \(T_a(f)=f(a)\)로 정의하면, \(T_a\)는 선형변환이다. 사실, 정의역 \(\mathbf R\)은 실수집합 대신 다른 집합이어도 상관없다.

예시 6.1.5. 미분.

\(V\)를 모든 다항함수 \(f \colon \mathbf R \to \mathbf R\)의 집합이라 하자. \(T \colon V \to V\)을 \(f(x) \mapsto f'(x)\)로 정의하면, 이는 선형변환이다. 함수 \(f(x)\)를 변수 \(x\)를 생략하여 \(f\)로 나타내면 표기법
\begin{align*} \frac{d}{dx} \colon V \amp \to V \\ f \amp \mapsto \frac{df}{dx} \end{align*}
을 쓸 수도 있다.

예시 6.1.6. 정적분.

\(f(x) \mapsto \int_{0}^xf(t)dt\)는 선형변환이다.

예시 6.1.7. 함수의 평행이동.

\(a\)가 실수일 때, 함수 간 대응 \(f(x) \mapsto f(x+a)\)은 선형변환이다.
합성을 통해 더 많은 예를 찾을 수 있다.

예시 6.1.8. 합성.

알려진 선형변환의 합성으로 새로운 선형변환을 얻을 수 있다. 가령, 세 벡터공간 \(V,W,Z\)와 선형변환
\begin{equation*} T \colon V \to W,\hspace{10pt}S\colon W\to Z \end{equation*}
가 있다면, 합성
\begin{equation*} S \circ T \colon V \to Z \end{equation*}
는 선형변환이다.

Subsection 6.1.2 기저와 선형변환

선형변환 \(T\colon V \to W\)을 특정하기 위해서는 적당한 \(V\)의 기저에 대하여 \(T\)가 어떻게 작용하는지 알면 충분하다. 가령,
\begin{equation*} \boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2 \in V \end{equation*}
가 기저라 하고 \(T\)의 기저에서의 값
\begin{equation*} \boldsymbol w_1=T(\boldsymbol v_1),\boldsymbol w_2=T(\boldsymbol v_2) \end{equation*}
이 알려져 있다고 하자. 선형성으로부터
\begin{equation} T(a_1\boldsymbol v_1+a_2\boldsymbol v_2)=a_1 \boldsymbol w_1 + a_2 \boldsymbol w_2\tag{6.1.1} \end{equation}
를 얻는다. 임의의 \(\boldsymbol v \in V\)는 적당한 \(a_1\)과 \(a_2\)에 대해 \(\boldsymbol v=a_1 \boldsymbol v_1 + a_2 \boldsymbol v_2\)로 표현되므로 이로부터 \(T(\boldsymbol v)=a_1\boldsymbol w_1+a_2\boldsymbol w_2\)를 알 수 있다.

예제 6.1.9. 기저에서의 값으로 선형변환 결정하기.

\(V\)가 \(n\)차원인 경우는 어떤가?
정답.
\(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n\in V\)가 기저이고, \(\boldsymbol w_1=T(\boldsymbol v_1),\cdots,\boldsymbol w_n=T(\boldsymbol v_n)\)이면
\begin{equation*} T(a_1\boldsymbol v_1+\cdots a_n \boldsymbol v_n)=a_1\boldsymbol w_1+\cdots a_n\boldsymbol w_n \end{equation*}
이다. \(n\)개의 값 \(\boldsymbol w_1,\cdots,\boldsymbol w_n\)으로 임의의 \(\boldsymbol v \in V\)에 대하여 \(T(\boldsymbol v)\)가 결정된다.
(6.1.1)에서 한 걸음 더 나아가 \(W\)의 기저를 상정해보자. 가령
\begin{equation*} \boldsymbol z_1, \boldsymbol z_2 \in W \end{equation*}
가 기저라면 적당한 스칼라 \(t_{11},t_{12}\)에 대하여
\begin{equation*} \boldsymbol w_1= t_{11}\boldsymbol z_1 + t_{21} \boldsymbol z_2 \end{equation*}
이고 같은 이유로 적당한 스칼라 \(t_{21},t_{22}\)에 대하여
\begin{equation*} \boldsymbol w_2= t_{12}\boldsymbol z_1 + t_{22} \boldsymbol z_2 \end{equation*}
이다. (6.1.1)에 대입하면
\begin{equation*} T(a_1\boldsymbol v_1+a_2\boldsymbol v_2)= (t_{11}a_1+t_{12}a_2)\boldsymbol z_1+(t_{21}a_1+t_{22}a_2) \boldsymbol z_2 \end{equation*}
이다. 우변의 계수를 알아보겠는가? 바로 행렬 곱
\begin{equation*} \begin{bmatrix} t_{11} \amp t_{12} \\ t_{21} \amp t_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t_{11}a_1+t_{12}a_2 \\ t_{21}a_1+t_{22}a_2 \end{bmatrix} \end{equation*}
에서 우변의 성분이다.
우화: 나무꾼은 선형변환 \(T\colon V \to W\)를 이용해 나무를 베다가 실수로 \(T\)를 연못에 빠뜨렸다. 잠시 후 산신령이 나타나 은빛 선형변환 \(T'\)을 건네며 “이것이 네 선형변환이냐?”하고 물었다. 선형변환을 구입할 때 받은 정품인증서를 보니 \(V\)의 기저 \(\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\)와 \(W\)의 기저 \(\boldsymbol w_1,\boldsymbol w_2\text{,}\) 그리고 행렬
\begin{equation*} \begin{bmatrix}1\amp 0 \\0 \amp 0\end{bmatrix} \end{equation*}
이 쓰여 있었다. 나무꾼은 \(\boldsymbol v_1\)에 \(T'\)을 내리쳐 영벡터를 얻었고, 산신령에게 “아닙니다.”라고 답했다. 산신령은 연못 속에 들어갔다 나와 금빛 선형변환 \(T''\)을 건네며 “이것이 네 선형변환이냐?”하고 물었다. 나무꾼은 이번에 \(\boldsymbol v_2\)에 \(T''\)을 내리쳐 \(\boldsymbol w_1\)을 얻었고, 산신령에게 “아닙니다.”라고 답했다. 산신령은 다시 연못 속에 들어갔다 나와 낡은 선형변환 \(T'''\)을 내밀며 “이것이 네 선형변환이냐?”하고 물었다. 나무꾼은 \(\boldsymbol v_1\)에 \(T'''\)을 내리쳐 \(\boldsymbol w_1\)를 얻었고, \(\boldsymbol v_2\)에 \(T'''\)을 내리쳐 영벡터를 얻었다. 나무꾼은 기뻐하며 “예, 맞습니다!”라고 답했다. 산신령은 나무꾼을 칭찬하며 세 선형변환을 모두 선물로 주었다.

Subsection 6.1.3 기저 선택 문제와 대각화

벡터공간 \(V\)와 선형변환 \(T \colon V \to V\)를 생각하자. \(T\)의 정의역과 공역이 \(V\)로 같으므로 한 벌의 기저만 있으면 \(T\)를 행렬로 변환할 수 있다. 가령, 함수로 구성된 벡터공간
\begin{equation*} W=\operatorname{span}(1,x) \end{equation*}
과 선형변환
\begin{equation} T_W \colon f(x) \mapsto f'(x)+ f(0)x\tag{6.1.2} \end{equation}
를 생각해보자.

예제 6.1.10. 선형변환 확인.

(6.1.2)가 선형변환인지 확인하여라.
기저 \(1,x\)를 이용하면 \(T_W\)는
\begin{equation*} \begin{bmatrix}0\amp 1 \\1 \amp 0\end{bmatrix} \end{equation*}
이다. 기저 \(1+x,1-x\)를 사용하면
\begin{equation*} \begin{bmatrix}1\amp 0 \\0 \amp -1\end{bmatrix} \end{equation*}
이다.
\(W\)의 기저 \(1,x\)가 자연스러워 보이고 다른 기저 \(1+x,1-x\)는 어색해 보이나 \(T_W\)와 함께 보면 후자의 경우 대각행렬을 얻는 장점이 있다.
다음 절에서는 대각화 문제—기저를 잘 선택해 선형변환을 대각행렬로 표현하는 문제—를 다룬다.

Subsection 6.1.4 행렬은 선형변환

\(m \times n\)행렬 \(A\)로부터 함수 \(T_A \colon \mathbf R^m \to \mathbf R^n\)을
\begin{equation*} \boldsymbol x \longmapsto A\boldsymbol x \end{equation*}
로 정의하자. 예시 6.1.2에서 보았듯이 \(T_A\)는 선형사상이다.

증명.

함의 \(A=B \Rightarrow T_A=T_B\)는 당연하다. 반대방향 \(T_A=T_B\Rightarrow A=B\)를 보이자. \(T_A=T_B\)라면 \(T_A(\boldsymbol e_i)=T_B(\boldsymbol e_i)\)이다. \(A\boldsymbol e_i\)는 \(A\)의 \(i\)열이고, 같은 이유로 \(B\boldsymbol e_i\)는 \(B\)의 \(i\)열이다. 각 열이 같으므로 \(A\)와 \(B\)는 같은 행렬이다.
명제 6.1.11에 따르면 행렬 \(A\)를 선형변환 \(T_A\)으로 생각해도 무방하다. 집합으로 표현하면, 행렬집합에서 선형변환집합으로 가는 함수 \(A \mapsto T_A\)는 일대일함수이므로, 행렬집합은 선형변환집합의 부분집합으로 여길 수 있다.

Subsection 6.1.5 선형변환은 행렬

선형변환 \(T \colon \mathbf R^m \to \mathbf R^n\)이 주어졌다고 하자.

증명.

\(A\)의 \(i\)열을 \(T(\boldsymbol e_i)\)로 택하면 된다. \(T_A=T\)를 확인하기 위해서는 예제 6.1.9에 의하여 \(\boldsymbol e_i\)에서의 값만 비교하면 충분하다.
명제 6.1.12를 다시 표현하면, 앞 문단 에서의 단사함수는 사실 일대일대응이다.

Subsection 6.1.6 선형변환의 행렬표현

명제 6.1.12에 따르면 유클리드공간 사이의 선형변환은 행렬로 유일하게 표현된다. 증명을 되새겨보면 유클리드공간의 표준기저를 활용했음을 알 수 있다.
일반적인 벡터공간 사이의 선형변환도 행렬로 표현이 가능하다. 그 방법은 다음과 같다. 만약
\begin{equation*} T \colon V \to W \end{equation*}
가 선형변환이라고 하자. \(V\)의 기저 \(\boldsymbol v_1,\cdots,\boldsymbol v_n\)과 \(W\)의 기저 \(\boldsymbol w_1,\cdots,\boldsymbol w_m\)을 택하자. 수 \(a_{ij}\)를 다음과 같이 정의한다.
  • \(T(\boldsymbol v_j)\)를 \(\boldsymbol w_1,\cdots,\boldsymbol w_m\)의 선형결합으로 나타냈을 때, \(\boldsymbol w_i\)의 계수.

정의 6.1.13.

\(a_{ij}\)를 성분으로 갖는 \(m \times n\)행렬 \(A\)를 \(T\)의 (주어진 기저에 대한) 행렬표현이라 한다.

예제 6.1.14. 표준기저를 통한 행렬표현 개념 확인.

\(V\)와 \(W\)가 유클리드공간이고 기저를 표준기저로 택했다. 명제 6.1.12의 \(A\)는 \(T_A\)의 행렬표현임을 확인하라.
여기서의 목적은 유클리드공간이 아닌 벡터공간을 허용함에 있음을 상기하자. 유클리드공간이 아닌 벡터공간의 대표적 예는 유클리드공간의 부분공간이다. 가령
\begin{equation*} V = \ker\left(\begin{bmatrix}1 \amp 1 \amp 1\end{bmatrix}\right) \end{equation*}
은 \(\mathbf R^3\)의 2차원 부분공간으로 유클리드공간은 아니다. 부분공간에서 전체 공간으로의 매장 \(T_1 \colon V \to \mathbf R^3\)은 선형변환이다. 선형변환 \(T_1\)을 행렬로 표시해보자. 기저를 택해야 한다.
\begin{equation*} \boldsymbol v_1=(1,1,-2),\boldsymbol v_2=(-2,1,1) \end{equation*}
는 \(V\)의 기저가 된다. \(\mathbf R^3\)의 기저는 표준기저로 택하자.
\begin{align*} T\boldsymbol v_1\amp =1 \boldsymbol e_1 + 1 \boldsymbol e_2 + (-2)\boldsymbol e_3\\ T\boldsymbol v_2\amp =(-2) \boldsymbol e_1 + 1 \boldsymbol e_2 + 1\boldsymbol e_3 \end{align*}
이므로 원하는 행렬표현은
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 \amp -2 \\ 1 \amp 1 \\ -2 \amp 1 \end{bmatrix} \end{equation*}
이다.
이어서 선형변환 \(T_2 \colon V \to V\)는
\begin{equation*} T_2 \colon (x,y,z) \mapsto (z,x,y) \end{equation*}
로 좌표를 치환하는 함수로 정의하자.

예제 6.1.15. 부분공간으로 선형변환 유도 확인.

\(T_2 \colon V \to V\)가 선형변환임을 보이라.
\(T_2\)를 행렬로 나타내보자.
\begin{align*} T_2\boldsymbol v_1 \amp = 0 \boldsymbol v_1 + 1\boldsymbol v_2 \\ T_2 \boldsymbol v_2 \amp =(-1) \boldsymbol v_1 + (-1)\boldsymbol v_2 \end{align*}
이므로 원하는 행렬표현은
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 \amp -1 \\ 1 \amp -1 \end{bmatrix} \end{equation*}
이다.
방금 계산에서 기저 \(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2\)를 두 번 사용했다. 타겟의 다른 기저를 택해도 행렬표현을 얻을 수 있다. 가령
\begin{equation*} \boldsymbol w_1 = (1,-1,0), \boldsymbol w_2=(0,1,-1) \end{equation*}
을 기저로 택했다면
\begin{align*} T_2\boldsymbol v_1 \amp = (-2)\boldsymbol w_1 + (-1)\boldsymbol w_2\\ T_2\boldsymbol v_2 \amp = 1\boldsymbol w_1 + (-1)\boldsymbol w_2 \end{align*}
이므로 \(T_2\)의 행렬표현은
\begin{equation*} \begin{bmatrix} -2 \amp 1 \\ -1 \amp -1 \end{bmatrix} \end{equation*}
으로 변한다.
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