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선형대수: 강의록 v.1.2.06

김도형

Section 2.1 소거법 소개: \(EA=U\)

Subsection 2.1.1 목적

독자들은 이미 연립일차방정식을 풀어본 경험이 있을 것이고, 풀이 방법 중 하나인 소거법에 대해서도 익숙할 것이다. 이 절에서 소거법을 다루지만 그 목적은 소거법을 설명하는 것은 아니며, 소거법과 행렬분해의 관계를 밝히는 것이 주 목적이다. 행렬 \(A\)를 다음 형태
\begin{equation*} EA=U \end{equation*}
로 표현하려 하는데, 여기서 \(E\)는 정사각행렬로 아랫삼각행렬이며 \(U\)는 윗삼각행렬이다.
 1 
\(A\)와 \(U\)는 크기가 같은데, 정사각이 아니어도 좋다. (정사각이 아닐 수도 있는) 일반적인 행렬 \(B\)의 경우 그 성분을 \(b_{ij}\)라 하면, \(i\gt j\)인 모든 \((i,j)\)에 대하여 \(b_{ij}=0\)일 때 \(B\)를 윗삼각행렬이라 한다. 비슷하게, 아랫삼각행렬에 대응되는 조건은 \(i\lt j\)인 모든 \((i,j)\)에 대하여 \(b_{ij}=0\)가 성립하는 것이다.

Subsection 2.1.2 변수 \(x\)의 소거

연립일차방정식
\begin{align} x+y\amp=1 \tag{2.1.1}\\ x+2y\amp=0 \tag{2.1.2} \end{align}
에서 변수 \(x\)를 소거하자. 둘째 식에서 첫 식을 빼면
\begin{align} x+y\amp=1 \tag{2.1.3}\\ y \amp = -1 \tag{2.1.4} \end{align}
을 얻는다.
(2.1.1)과 (2.1.2)는 간략히
\begin{equation*} \begin{bmatrix}1\amp1\\1\amp2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \end{equation*}
로 표현된다. 양변에 행렬
\begin{equation*} E = \begin{bmatrix}1\amp0\\-1\amp1\end{bmatrix} \end{equation*}
을 곱하면
\begin{equation} \begin{bmatrix}1\amp0\\-1\amp1\end{bmatrix} \left(\begin{bmatrix}1\amp1\\1\amp2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}1\amp0\\-1\amp1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\tag{2.1.5} \end{equation}
이다. 좌변은 결합법칙을 이용해
\begin{equation*} \left( \begin{bmatrix}1\amp0\\-1\amp1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\amp1\\1\amp2\end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\amp1\\0\amp1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \end{equation*}
로 쓰고 우변은 계산으로
\begin{equation*} \begin{bmatrix}1\amp0\\-1\amp1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \end{equation*}
을 얻는다. 따라서, (2.1.5)은
\begin{equation} \begin{bmatrix}1\amp1\\0\amp1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \tag{2.1.6} \end{equation}
이 되는데, 이는 (2.1.3)과 (2.1.4)를 나타낸다.

Subsection 2.1.3 결합법칙

행렬곱은 결합법칙을 만족한다. 즉,
\begin{equation} A(BC)=(AB)C\tag{2.1.7} \end{equation}
가 성립한다.
(2.1.7)는 양변의 성분끼리 비교해서 확인할 수 있다.

Subsection 2.1.4 소거법

3변수 연립방정식을 생각하자. 식으로는
\begin{align} x+y+z \amp =2\tag{2.1.8}\\ x-y-z \amp =3\tag{2.1.9}\\ -3x+y+2z \amp =4\tag{2.1.10} \end{align}
이고 행렬로 나타내면
\begin{equation} A = \begin{bmatrix}1\amp1\amp1\\1\amp-1\amp-1\\-3\amp1\amp2\end{bmatrix}\tag{2.1.11} \end{equation}
일 때
\begin{equation*} A \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix} \end{equation*}
가 된다.
(2.1.11)의 대각선 아래 성분을 소거해보자.
\begin{equation*} \begin{CD} \begin{bmatrix}1\amp1\amp1\\1\amp-1\amp-1\\-3\amp1\amp2\end{bmatrix} \\ @V{\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\-1\amp1\amp0\\0\amp0\amp1\end{bmatrix}\times}VV \\ \begin{bmatrix}1\amp1\amp1\\0\amp-2\amp-2\\-3\amp1\amp2\end{bmatrix} \\ @V{\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\0\amp1\amp0\\3\amp0\amp1\end{bmatrix}\times}VV \\ \begin{bmatrix}1\amp1\amp1\\0\amp-2\amp-2\\0\amp4\amp5\end{bmatrix} \\ @V{\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\0\amp1\amp0\\0\amp2\amp1\end{bmatrix}\times}VV \\ \begin{bmatrix}1\amp1\amp1\\0\amp-2\amp-2\\0\amp0\amp1\end{bmatrix} \end{CD} \end{equation*}
간략하게 쓰기 위해
\begin{equation*} E_1=\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\-1\amp1\amp0\\0\amp0\amp1\end{bmatrix}, \\ E_2=\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\0\amp1\amp0\\3\amp0\amp1\end{bmatrix}, \\ E_3=\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\0\amp1\amp0\\0\amp2\amp1\end{bmatrix} \end{equation*}
로 놓으면
\begin{equation} E_3E_2E_1A=\begin{bmatrix}1\amp1\amp1\\0\amp-2\amp-2\\0\amp0\amp1\end{bmatrix}\tag{2.1.12} \end{equation}
이다. 우변은 윗삼각행렬로 소거가 완료되었다.

보조설명 2.1.1. 행연산.

\(E_i\)와 같은 행렬을(\(i=1,2,3\)) 왼쪽에 곱하는 것은 행연산이라고도 부른다. 이는 곱셈 결과
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 1\amp0\amp0\\c\amp1\amp0\\0\amp0\amp1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol r_1\\\boldsymbol r_2\\\boldsymbol r_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol r_1\\\boldsymbol r_2+c\boldsymbol r_1\\\boldsymbol r_3 \end{bmatrix} \end{equation*}
이 “첫 행의 \(c\)배를 둘째 행에 더한 것”을 나타내기 때문이다.
소거된 행렬은 0이 계단 모양을 이루는데, 꺾인 곳에 위치한 수를 축이라 한다. 가령, (2.1.12)에서 축은 대각선에 위치한 \(1,-2,1\)이며, 축은 총 세 개이다. 상대적 위치가 중요하며 \(1,-2\)가 대각선 밖에도 있지만 축은 아니다.

예시 2.1.2. \(3 \times 4\)행렬의 소거.

당분간 정사각행렬을 중점적으로 고려하지만, 소거법은 모든 행렬에 적용할 수 있다. 가령,
\begin{equation*} A=\begin{bmatrix}1\amp0\amp1\amp1\\1\amp0\amp1\amp0\\1\amp0\amp1\amp2\end{bmatrix} \end{equation*}
를 소거하면
\begin{equation*} \begin{CD} \begin{bmatrix}1\amp0\amp1\amp1\\1\amp0\amp1\amp0\\1\amp0\amp1\amp2\end{bmatrix} \\ @V{\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\-1\amp1\amp0\\0\amp0\amp1\end{bmatrix}\times}VV \\ \begin{bmatrix}1\amp0\amp1\amp1\\0\amp0\amp0\amp-1\\1\amp0\amp1\amp2\end{bmatrix} \\ @V{\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\0\amp1\amp0\\-1\amp0\amp1\end{bmatrix}\times}VV \\ \begin{bmatrix}1\amp0\amp1\amp1\\0\amp0\amp0\amp-1\\0\amp0\amp0\amp1\end{bmatrix} \\ @V{\begin{bmatrix}1\amp0\amp0\\0\amp1\amp0\\0\amp1\amp1\end{bmatrix}\times}VV \\ \begin{bmatrix}1\amp0\amp1\amp1\\0\amp0\amp0\amp-1\\0\amp0\amp0\amp0\end{bmatrix} \end{CD} \end{equation*}
이다. 축은 \((1,1)\)성분 \(1\)과 \((3,4)\)성분 \(-1\)으로 두 개이다.

Subsection 2.1.5 소거 후 연립방정식 풀이

축은 행이나 열에 두 번 나타나지 않는다. \(n \times n \)행렬 \(A\)에 소거법을 적용해 얻은 정사각행렬 \(EA=U\)에는 기껏 \(n\)개의 축이 있다. 가능한 최대 개수인 \(n\)개의 축을 갖는다면 \(U\)는 윗삼각행렬로 대각성분에 영은 없다. 이러한 경우 \(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)를 만족하는 \(\boldsymbol x\)를 어떻게 찾는지 알아보자.
\(A\boldsymbol x = \boldsymbol b\)의 좌변에 \(E\)를 곱하자. \(E\boldsymbol b = \boldsymbol c\)라 놓으면 \(EA=U\)에서
\begin{equation} U\boldsymbol x = \boldsymbol c\tag{2.1.13} \end{equation}
를 얻는다. (2.1.13) 형태의 경우 마지막 변수부터 거슬러 올라가며 풀면 된다. 가령,
\begin{equation*} \begin{bmatrix}1\amp1\amp1\\0\amp-2\amp-2\\0\amp0\amp1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\12\end{bmatrix} \end{equation*}
는 \(z,y,x\)순으로 찾는다. 먼저 3행에서 \(z=12\)를 얻고, 그 다음 2행에서 \(y=-25/2\)를 얻고, 마지막으로 1행에서 \(x=5/2\)를 얻는다.
소거 후 얻은 \(U\)의 축 개수가 \(n\)개보다 작으면 어떻게 되는가? 절 3.3에서 다룬다.

보조설명 2.1.3. 행교환이 필요한 소거.

소거를 진행하다가 행교환이 필요할 수 있다. 가령,
\begin{equation} \begin{bmatrix}1\amp1\amp0\\0\amp0\amp1\\0\amp1\amp1\end{bmatrix}\tag{2.1.14} \end{equation}
에 도달한 경우 2행과 3행을 교환해
\begin{equation*} \begin{bmatrix}1\amp1\amp0\\0\amp1\amp1\\0\amp0\amp1\end{bmatrix} \end{equation*}
을 얻어 소거를 완료한다.

연습문제 2.1.6 연습문제

1.

    \(A, C\)가 정사각행렬이고 \(CA=I\)라 하자. 방정식 \(A\boldsymbol x= \boldsymbol b\)의 해에 대한 표현으로 옳은 것은?
  • \(\boldsymbol x = C\boldsymbol b\)
  • \(\boldsymbol x = \boldsymbol b C\)
  • 둘 다.

2.

    방정식 \(A\boldsymbol x=\boldsymbol b\)을 해결하는 소거법에 대한 설명으로 옳은 것은?
  • \(CA=I\)인 행렬 \(C\)를 구해 해결한다.
  • \(CA=I\)인 행렬 \(C\)를 구하지 않고 우회한다.

3.

    소거 과정
    \begin{equation*} \begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 5 & 13 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} \end{equation*}
    에 대한 설명으로 옳은 것은?
  • \(3\)은 축이다.
  • 최종적으로 축은 \(3\)개이다.
  • \(13\)은 축이다.

4.

    \(n \times n\)행렬에 소거법을 적용했을 때 그 결과에 대한 설명으로 옳은 것을 고르시오.
  • 항상 축은 \(n\)개이다.
  • 축은 \(n\)개 이하이다.
  • 그 외

5.

    \(n \times n\) 삼각행렬의 대각성분이 모두 영이 아닐 때, 그 랭크는 반드시 \(n\)이다.
  • 참
  • 거짓

6.

    모든 정사각행렬 \(A\)는 \(EA=U\)로 분해할 수 있다. (단, \(E\)는 대각성분이 모두 \(1\)인 아랫삼각행렬, \(U\)는 윗삼각행렬이다.)
  • 참
  • 거짓
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